Enunciado

Ache a área da região limitada pela curva y = sen 2 ⁡ x e pelo eixo x de x = 0 e x = π .

Passo 1

Primeiro passo é identificar que área é essa, né? Mas desenhar o gráfico da função dada não é tão intuitivo, na verdade, nem precisamos, pois essa é uma função positiva, pessoal. Nesse caso, ao calcular a integral em certo intervalo, o resultado é justamente a área!

Mas qual seria o nosso intervalo? O problema disse que a área é limitada pela curva, eixo x de x = 0 a x = π , então o intervalo de integração é [ 0 ,   π ] .

Vamos ver o gráfico da função só para confirmar os dados:

Passo 2

A área de acordo com os dados anteriores é dada pela integral:

A = ∫ 0 π sen 2 ⁡ x d x

Antes de resolver, precisamos usar uma relação trigonométrica para virar uma integral imediata. A relação é:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Ficamos então com:

A = ∫ 0 π sen 2 ⁡ x d x = ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = 1 2 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 x d x

Passo 3

Para resolver essa última integral, vamos usar:

∫ cos ⁡ a x d x = sen ⁡ a x a + C             a ≠ 0

Daí temos:

A = 1 2 x - sen ⁡ 2 x 2 0 π

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f . Diante disso,

A = 1 2 x - sen ⁡ 2 x 2 0 π = 1 2 π - sen ⁡ 2 π 2 - 1 2 0 - sen ⁡ 0 2

A = 1 2 π - 0 - 1 2 0 - 0 = π 2

Logo, a área é:

A = π 2   u . a

u . a significa é unidades de área.

Resposta

A = π 2   u . a

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