Calcule a integral indefinida:

∫ d x 4 x 2 - 9 3 2

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos no denominador:

4 x 2 - 9 = 4 x 2 - 9 4 = 4 x 2 - 3 2 2

Isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 3 2 sec ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

x = 3 2 sec ⁡ θ d x = 3 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 9 4 sec 2 ⁡ θ     →       x 2 - 9 4 = 9 4 sec 2 ⁡ θ - 9 4 = 9 4 sec 2 ⁡ θ - 1 ⏞ tan 2 ⁡ θ = 9 4 tan 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos manipular a expressão da integral e trocar a variável:

∫ d x 4 x 2 - 9 3 2 = ∫ d x 4 x 2 - 3 2 2 3 2 = ∫ d x 4 3 2   x 2 - 3 2 2 3 2 = 1 2 3 ∫ d x   x 2 - 3 2 2 3 2

= 1 2 3 ∫ 3 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ   9 4 tan 2 ⁡ θ 3 2 = 1 2 3 ⋅ 3 2 ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ 9 4 3 2 tan 2 ⁡ θ 3 2 = 1 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 2 3 3 3 ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ tan 3 ⁡ θ

= 1 18 ∫ 1 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = 1 18 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Trocaremos a variável de novo, agora faremos u = sen ⁡ θ       →         d u = cos ⁡ θ d θ . Ficando com:

1 18 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ = 1 18 ∫ d u u 2 = 1 18 ∫ u - 2 d u = u - 1 - 18 + C = - 1 18 u + C = - 1 18 sen ⁡ θ + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 3 2 sec ⁡ θ , temos:

∫ d x 4 x 2 - 9 3 2 = - 1 18 sen ⁡ θ + C

Para achar sen ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição seno construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ θ = x 2 - a 2 x   →     1 sen ⁡ θ = x x 2 - 3 2 2 = x x 2 - 9 4

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d x 4 x 2 - 9 3 2 = - x 18 x 2 - 9 4 + C = - x 18 4 x 2 - 9 2 + C = - x 9 4 x 2 - 9 + C

Resposta

∫ d x 4 x 2 - 9 3 2 = - x 9 4 x 2 - 9 + C

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