Enunciado

Ache a área da seção limitada pelas curvas y = sin ⁡ x e y = cos ⁡ x entre dois pontos de interseção consecutivos.

Passo 1

Vamos olhar o gráfico das duas funções sobreposto um ao outro:

Passo 2

Vamos encontrar os pontos A e B:

sin ⁡ x = cos ⁡ x

Como cos ⁡ x ≠ 0 ,

tan ⁡ x = 1

x = π 4 + k π

Sem perda de generalidade, podemos calcular a área entre A e B, já que as funções são periódicas e o gráfico se repete a medida que o valor de x aumenta. Nesse caso, teremos:

A = - 3 π 4 , - 2 2

B = ( π 4 ; 2 2 )

Passo 3

Para calcular a área S em questão, basta resolver a integral:

S = ∫ - 3 π 4 π 4 ( cos ⁡ x - sin ⁡ x ) d x

S = ∫ - 3 π 4 π 4 ( cos ⁡ x ) d x - ∫ - 3 π 4 π 4 ( sin ⁡ x ) d x

S = sin ⁡ x - 3 π 4 π 4 - - cos ⁡ x - 3 π 4 π 4

S = 2 2

Resposta

A área S , em unidades de área do gráfico, é:

S = 2 2

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