Enunciado

Ache, com até quatro casas decimais, o valor de x no intervalor ( π 2 , 3 π 2 ) para o qual tg x = x, aplicando o método de Newton.

Passo 1

Sabendo que, cada termo do método de Newton é dado pela equação abaixo:

x n + 1 = x n - f x f ' x

Supomos o primeiro termo, em seguida utilizamos a equação acima para acharmos os termos seguintes até a precisão determinada pela questão, que no caso é de quatro casa decimais.

Passo 2

Note que,

x = t g   x

x - t g   x = 0

Desse modo, f é dado por:

f x =   x - t g   x

Assim, a derivada é:

f ' x = 1 - sec 2 ⁡ x

Passo 3

Com isso, basta aplicarmos o ponto na equação, neste caso vamos escolher um que pertença ao intervalo definido na questão, x 1 = 4.5 , mas lembrando que pode escolher outros valores, de preferência no intervalo determinado, pois existem outras raízes e o método pode convergir para uma raiz não desejada. Logo,

x 2 = 4.5000 + f 4.5 f ' 4.5 = 4.4936

x 3 = 4.4936 - 0.0039 20.2271 = 4.4934

x 4 = 4.4934 + 0 = 4.4934

Observe que, a partir da interação 4 os resultados são os mesmos.

Resposta

4.4934

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