Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 4.2 - Ex. 36b

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Resolva o Exercício 35, se uma das partes for dobrada na forma de um triângulo equilátero, e a outra, na forma de um quadrado.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Vamos lá: temos 10 m de arame para usar. Ou seja, o perímetro p total das duas figuras vai ser:

p = 4 x + 3 y = 10

Onde:

x é o lado do quadrado.

y é o lado do triângulo.

E a área total (que é a função que queremos minimizar) será:

A x ,   y = x 2 + 3 4 y 2

Passo 3

Temos uma função de duas variáveis, não podemos achar os máximos e mínimos dela dessa forma :( Mas não tem problema, podemos isolar o r na equação do perímetro e jogar o valor de r em A x ,   y e ficar só com A x . Isolando y na primeira equação:

3 y = 10 - 4 x

y = 10 - 4 x 3

Agora jogando isso na equação da área total:

A x = x 2 + 3 4 10 - 4 x 3 2

A x = x 2 + 3 36 100 - 80 x + 16 x 2

A x = 9 + 4 3 9 x 2 - 20 3 9 x + 25 3 9

Agora sim temos um polinômio bonitinho em uma variável só pra derivar e tudo mais!

Passo 4

Agora vamos derivar A x :

d A d x = 2 9 + 4 3 9 x - 20 3 9

Agora igualando a 0 :

2 9 + 4 3 9 x - 20 3 9 = 0

2 9 + 4 3 9 x = 20 3 9

2 9 + 4 3 x = 20 3

x = 20 3 2 9 + 4 3 ≅ 1.09

Já temos o valor de x nesse extremo! Agora precisamos verificar o valor da função nesse ponto para saber se ele é um máximo ou um mínimo comparado com os valores no extremo do intervalo. Repare que x ∈ 0 ,   2.5 .

Passo 5

Fazendo A 0 ,   A 1.09 e A 2.5 :

A 0 = 9 + 4 3 9 0 2 - 20 3 9 0 + 25 3 9 = 25 3 9 ≅ 4.81

A 1.09 = 9 + 4 3 9 1.09 2 - 20 3 9 1.09 + 25 3 9 ≅ 2.72

A 2.5 = 9 + 4 3 9 2.5 2 - 20 3 9 2.5 + 25 3 9 ≅ 6.25

Daí vemos que o valor que nos dá a maior área é x = 2,5 . Ou seja, o lado do quadrado deve ser 2,5   cm e o lado do triângulo deve ser y = 10 - 4 ( 2,5 ) 3 = 0   cm.

Resposta

O lado do quadrado deve ser 2,5   cm e não há triângulo.

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