Enunciado

Um pedaço de arame com 10 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada na forma circular e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio, de tal forma que a área combinada das duas figuras seja a menor possível?

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Vamos lá: temos 10 m de arame para usar. Ou seja, o perímetro p total das duas figuras vai ser:

p = 4 x + 2 π r = 10

Onde:

x é o lado do quadrado.

r é o raio da circunferência.

E a área total (que é a função que queremos minimizar) será:

A x ,   r = x 2 + π r 2

Passo 3

Temos uma função de duas variáveis, não podemos achar os máximos e mínimos dela dessa forma :( Mas não tem problema, podemos isolar o r na equação do perímetro e jogar o valor de r em A x ,   r e ficar só com A x . Isolando r na primeira equação:

2 π r = 10 - 4 x

r = 1 π 5 - 2 x

Agora é só jogar isso na equação da área!

A x = x 2 + π 1 π 5 - 2 x 2

A equação da área vai ficar então:

A x = x 2 + 5 - 2 x 2 π

A x = x 2 + 1 π 25 - 20 x + 4 x 2

A x = 1 + 4 π x 2 - 20 π x + 25 π

Agora temos nossa função prontinha pra ser derivada e tudo mais!

Passo 4

Derivando a A :

d A d x = 2 + 8 π x - 20 π

Igualando a 0 :

2 + 8 π x - 20 π = 0

2 + 8 π x = 20 π

2 π + 8 x = 20

x = 20 2 π + 8 ≅ 1,4

Vamos aplicar esse ponto na equação da área e comparar com os extremos do intervalo e checar se ele é um máximo ou um mínimo. Repare que como 4 x = 10 , quando fazemos somente o quadrado, então o intervalo do x é 0 ,   2.5 .

Passo 5

Fazendo A 0 ,   A ( 2.5 ) e A 1,4 .

A 0 = 0 2 + 5 - 2 ∙ 0 2 π = 25 π ≅ 7.9 6

A 2,5 = 2,5 2 + 5 - 2 ∙ 2,5 2 π = 25 4 = 6.25

A 1,4 = 1,4 2 + 5 - 2 ∙ 1,4 2 π ≅ 3,5

Daí vemos que 1,4 é realmente o valor de x que gera a menor área possível. Então o raio da circunferência será 1 π 5 - 2 ∙ 1,4 ≅ 0,7 m e o lado do quadrado será x = 1,4   m

Resposta

O raio da circunferência será 1 π 5 - 2 ∙ 1,4 ≅ 0,7 m e o lado do quadrado será x = 1,4   m.

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