Enunciado

Ache o centro de massa da lâmina limitada pela parábola 2 y 2 = 18 - 3 x , pelo eixo y , se a densidade superficial de massa em qualquer ponto ( x , y ) for 6 - x   k g / m ² .

Passo 1

A lâmina é simétrica em relação ao eixo x e a desenidade superficial não é uma função de y , entao y = 0 .

y 2 = 9 - 3 2 x y 2 = 3 2 6 - x y = 3 2 6 - x

Passo 2

Calculando agora o valor de m x e m y .

m y = lim | ∆ | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 2 m i 6 - m i 3 2 6 - m i   ∆ i x = 6 ∫ 0 6 x 6 - x d x = 6 ∫ 0 6 6 x - x ² d x m y = 6 3 x 2 - x 3 3 0 6 = 6 3 * ( 6 ) ² - 6 3 3 m y = 36 6

M = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 2 6 - m i 3 2 6 - m i   ∆ i x = 6 ∫ 0 6 6 - x d x M = 6 6 x - x 2 2 0 6 = 6 36 - 18 M = 18 6

Passo 3

Vamos agora encontrar agora os pontos do centróide.

x - = m y M = 36 6 18 6 x - = 2

Resposta

O centro de massa está localizado no ponto ( 2,0 ) .

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Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área. y = 12 - x 2 , y = x 2 - 6
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área. x = 2 y 2 , x = 4 + y 2
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área. y = e x , y = x e x ,x = 0