Enunciado

Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (12) A parábola y = 2 x + 1 , x + y = 7 e x = 8 .

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos os pontos de intersecção entre y = 2 x + 1 , x + y = 7 e x = 8 . Assim:

2 x + 1 = 7 - x 3 x = 6 x = 2 x = 8 y = 2 * 8 + 1 = 17 y = 7 - 8 = 1

Passo 2

Vamos calcular a área da região delimitada elas duas funções. Como a área é um triângulo, podemos usar a fórmula da área de triângulos:

A = 1 2 b h A = 1 2 18 6 = 54

Passo 3

Calculando agora o valor de m x e m y .

m y = ∫ 2 8 2 x + 1 - - x + 7 x d x = ∫ 2 8 3 x 2 - 6 x d x m y = 3 x 3 3 - 6 x 2 2 2 8 = x 3 - 3 x ² 2 8 = [ 8 3 - 3 * 8 2 - 2 3 + 3 * 2 2 ] m y = 324

m x = ∫ 2 8 1 2 3 x - 6 x + 8 d x = 1 2 ∫ 2 8 3 x 2 + 18 x - 48 d x m x = 1 2 3 x 3 3 + 18 x 2 2 - 48 x 2 8 = 1 2 [ x 3 + 9 x 2 - 48 x ] 2 8 m x = 378

Passo 4

Vamos agora encontrar agora os pontos do centróide.

y - = 1 A 378 = 1 5 4 * 378 y - = 7

x - = 1 A m y = 1 5 4 * 324 x - = 6

Resposta

O centróide está localizado no ponto 6 , 7 .

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