Enunciado

Ache o centro de massa da lâmina limitada pela parábola 2 y 2 = 18 - 3 x , pelo eixo y , se a densidade superficial de massa em qualquer ponto ( x , y ) for x   k g / m ² .

Passo 1

A lâmina é simétrica em relação ao eixo x e a desenidade superficial é uma função de x , então vamos resolver as limitações para y como uma função de x

y 2 = 9 - 3 2 x y 2 = 3 2 6 - x y = 3 2 6 - x ,   x ∈ [ 0,6 ]

Passo 2

A medida do elemento retangular de área perpendicular ao eixo x é 2 f m i ∆ i x e a sua massa é 2 ρ m i f m i ∆ i x . Assim:

M = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 2 ρ m i f m i ∆ i x = ∫ 0 6 2 ρ x f x d x M = ∫ 0 6 2 ρ x f x d x = ∫ 0 6 2 x 9 - 3 2 x d x

M y = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 2 ρ m i f m i m i ∆ i x = ∫ 0 6 2 ρ x f x x d x M y = ∫ 0 6 2 x 2 9 - 3 2 x d x

Seja u = 9 - 3 2 x . Então x = 2 3 ( 9 - u 2 ) ; d x = - 4 3 u d u ; u = 3 quando x = 0 e u = 0 quando x = 6 .   Então:

M = ∫ 3 0 2 2 3 9 - u 2 u - 4 3 u d u M = 16 9 ∫ 0 3 9 u 2 - u 4 d u M = 16 9 3 u 3 - 1 5 u 5 0 3 M = 16 9 3 27 - 1 5 243 M = 288 5

M y = ∫ 3 0 2 2 3 9 - u 2 2 u - 4 3 u   d u M y = 32 27 ∫ 0 3 81 u 2 - 18 u 4 + u 6 d u M y = 32 27 27 u 3 - 18 u 5 5 + u 7 7 0 3 M y = 32 27 27 3 3 - 18 5 3 5 + 3 7 7 M y = 6912 35

Passo 3

Vamos agora encontrar agora os pontos do centróide.

x - = m y M = 6912 35 * 5 288 x - = 24 7

Resposta

O centro de massa está localizado no ponto 24 7 , 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. x = 1 / 2 ,x = yey = - x + 2
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. y = x 2 6ey = 6
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. x + y = 3ey + x 2 = 3
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. x = y 2 ,y - x = 2 ,y = - 2ey = 3
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. y 2 = 2 xex 2 = 2 y