Enunciado

Ache o centro e o raio da circunferência e desenhe um esboço do gráfico:

2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ y 2 - 2 ⋅ x + 2 ⋅ y + 7 = 0

Passo 1

Para encontrar o centro e o raio de uma circunferência a partir de sua equação geral, primeiro devemos escrevê-la na forma centro-raio e comparar com a fórmula x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 , em que x 0   e   y 0 são as coordenadas do centro e r é o raio. Para isso, vamos completar quadrados.

(Lembrando: trinômio quadrado perfeito: a 2 ± 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 = a ± b 2 )

Passo 2

Para completar quadrados, observamos a parcela com a variável na primeira potência quando a segunda potência da variável tiver coeficiente unitário, caso contrário, colocamos esse coeficiente em evidência. Só então dividimos o coeficiente da variável na primeira potência por 2 e o resultado nós elevamos ao quadrado, somamos e subtraímos para não alterar a equação.

2 ⋅ ( x 2 - x ) + 2 ⋅ ( y 2 + y ) + 7 = 0

2 ⋅ x 2 - 2 ⋅ 1 2 ⋅ x + 1 2 2 - 1 2 2 + 2 ⋅ y 2 + 2 ⋅ 1 2 ⋅ y + 1 2 2 - 1 2 2 + 7 = 0

2 ⋅ x - 1 2 2 - 1 4 + 2 ⋅ y + 1 2 2 - 1 4 + 7 = 0

2 ⋅ x - 1 2 2 - 1 2 + 2 ⋅ y + 1 2 2 - 1 2 + 7 = 0

2 ⋅ x - 1 2 2 + 2 ⋅ y + 1 2 2 = - 6

x - 1 2 2 + y + 1 2 2 = - 3

Como não existe número real que, quando elevado ao quadrado, resulte em um número negativo, essa equação representa um conjunto vazio.

Resposta

Não existe x ,   y ∈ R 2 tal que x - 1 2 2 + y + 1 2 2 = - 3 .

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