Enunciado

Ache o centroide da região   descrita no Exercício 44.

Passo 1

A região do exercício 44, é dada pelas curvas y = s e n x e y = c o s x para 0 ≤ x ≤ π 4 . Vamos esboçar a região para visualizarmos melhor:

Como dá para ver, a função cosseno (linha vermelha) está acima da função seno (linha verde) na região de nosso interesse e para integrarmos essa região para obtermos o centroide, precisaremos fazer a diferença entre as funções:

f x = c o s x - s e n x

Precisaremos então determinar os valores dos momentos de massa M x , M y e a área A da região para podermos calcular o centroide, as equações então serão:

M x = 1 2 ∫ 0 π 4 c o s x - s e n x 2 d x

M y = ∫ 0 π 4 x c o s x - s e n x d x

A = ∫ 0 π 4 c o s x - s e n x d x

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação da área da região:

A = ∫ 0 π 4 c o s x - s e n x d x

Integrando cada termo:

A = s e n x + c o s x π 4 0

Aplicando os limites:

A = s e n π 4 + c o s π 4 - s e n 0 + c o s 0

A = 2 - 1

Passo 3

Para resolvermos M x , vamos expandir a potência:

M x = 1 2 ∫ 0 π 4 c o s x - s e n x 2 d x

M x = 1 2 ∫ 0 π 4 c o s 2 x - 2 s e n x c o s x + s e n 2 x d x

E podemos escrever:

M x = - 1 2 ∫ 0 π 4 2 s e n x c o s x d x

M x = - ∫ 0 π 4 s e n x c o s x d x

Transformando a integral em uma integral indefinida e fazendo a substituição u = s e n x → d u = c o s x d x :

- ∫ u d u

Integrando:

u 2 2 + c

Retornando para a variável x:

s e n 2 x 2 + c

E substituindo os limites de integração:

M x = s e n 2 π 4 2

M x = 1 4

Passo 4

Para calcularmos M y , usaremos o método de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamaremos u = x e d v = c o s x d x . A integral então fica:

M y = ∫ 1 π 2 x c o s x d x = x s e n x + c o s x π 4 0 - ∫ 0 π 4 s e n x + c o s x d x

Integrando cada termo da ultima integral:

M y = x s e n x + c o s x π 4 0 + c o s x - s e n x π 4 0

Aplicando os limites:

M y =   π 4 s e n π 4 + c o s π 4 + c o s π 4 - s e n π 4 - ( c o s 0 - s e n 0 )

M y = π 2 4 - 1

Passo 5

E agora jogamos os resultados nas equações das coordenadas do centroide:

x = M y A = π 2 4 - 1 2 - 1 ≅ 0,27

y = M x A = 1 4 ( 2 - 1 ) ≅ 0,60

E então o centroide terá aproximadamente as coordenadas (0,27, 0,60)

Resposta

(0,27, 0,60)

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