Enunciado

Calcule o valor exato de e até a quinta casa decimal e prove que sua resposta tem a precisão pedida.

Passo 1

Para realizarmos esse cálculo, precisamos de uma função f , uma vez que para utilizarmos o polinômio de Taylor necessitamos de uma função. Como queremos calcular o valor de e , uma função viável é essa:

f x = e x

De acordo com a fórmula de Taylor, temos que para todo n = f n x = e x , tem-se:

f n 0 n ! = 1 n !

Aqui vale ressaltar que tomamos a = 0 , tudo bem? Ademais, uma vez escrito a fórmula de Taylor, basta gerarmos o seu polinômio, que é dado pela seguinte fórmula:

P n x = f 0 + f ' ( 0 ) 1 ! x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n

Passo 2

Para o polinômio supracitado no passo acima, teremos:

P n x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … + x n n !

Oxe, como assim??? E aonde estão as derivadas? A derivada de uma função exponencial no seu modo mais simples, que é e x , sempre será ela mesma, é por isso que para qualquer ordem de derivada, se substituirmos x = 0 , teremos 1 como resposta! Continuando... Para obtermos uma aproximação melhor, vamos fazer o polinômio para n = 9 , ok? Mas quem seria x ? Como e = e 1 , então podemos tomar x = 1 , saca só:

P 9 1 = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + 1 720 + 1 5040 + 1 40.320 + 1 362.880

∴ P 9 ( 1 ) ≈ 2,718282

Resposta

P 9 ( 1 ) ≈ 2,718282

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Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = sen ⁡ x e x 0 = 0
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Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = 1 + x α e x 0 = 0 , onde α ≠ 0 é um real dado.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = ln ⁡ x e x 0 = 1
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = x 3 e x 0 = 1