Ache o comprimento do arco da curva y = ln x de x = 1 a x = e .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva y = ln ⁡ x entre x = 1 e x = e . Para resolver esse problema, você precisa lembrar a fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Assim, para y = ln ⁡ x , temos que

y ' = 1 x ⇒ 1 + y ' 2 = 1 + 1 x 2 = 1 + x 2 x 2 = 1 + x 2 x

Portanto,

L = ∫ 1 e 1 + x 2 x   d x

Passo 2

Para calcular essa integral, vamos escrever:

L = ∫ 1 e 1 + x 2 x   d x = ∫ 1 e 1 + x 2 x 2   x   d x

Vamos fazer a substituição t = 1 + x 2 . Assim, x 2 + 1 = t 2 ⇒ x 2 = t 2 - 1 . Além disso,

2 x   d x = 2 t   d t ⇒ x   d x = t   d t

Portanto,

L = ∫ 2 1 + e 2 t 2 t 2 - 1   d t

Por outro lado, note que

t 2 = t 2 - 1 + 1 ⇒ t 2 t 2 - 1 = 1 + 1 t 2 - 1

Assim,

L = ∫ 2 1 + e 2 1 + 1 t 2 - 1   d t = 1 + e 2 - 2 + ∫ 2 1 + e 2 1 t 2 - 1   d t

Passo 3

Vamos chamar

I = ∫ 2 1 + e 2 1 t 2 - 1   d t

Assim, L = 1 + e 2 - 2 + I . Para calcular I , vamos usar frações parciais:

1 t 2 - 1 = 1 ( t + 1 ) ( t - 1 ) = 1 2 1 t - 1 - 1 t + 1

Assim,

I = 1 2 ln ⁡ t - 1 - ln ⁡ t + 1 2 1 + e 2 = 1 2 ln ⁡ t - 1 t + 1 2 1 + e 2

Portanto,

I = 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 - 1 1 + e 2 + 1 - ln ⁡ 2 - 1 2 + 1

Assim,

L = 1 + e 2 - 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 - 1 1 + e 2 + 1 - ln ⁡ 2 - 1 2 + 1

Este é comprimento da curva!

Resposta

1 + e 2 - 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 - 1 1 + e 2 + 1 - ln ⁡ 2 - 1 2 + 1

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