Enunciado

  1. Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,   0 > x < π ,   com o ponto inicial π 2 , 0 .
  2. Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.

Passo 1

A nossa função é a y = f x = l n ⁡ ( s e n x ) . O primeiro passo para escrevermos nossa função de comprimento de arco é encontrar a primeira derivada da função. Assim,

y ' = 1 s e n x c o s x = c o t g x

O segundo passo é escrevermos 1 + y ' 2 . Portanto,

1 + y ' 2 = 1 + c o t g 2 x

Note que temos aqui uma identidade trigonométrica! Sabemos que 1 + c o t g 2 x = c o s s e c 2 x . Assim,

1 + y ' 2 = c o s s e c 2 x = c o s s e c x

Passo 2

Por fim, vamos escrever a nossa função de comprimento de arco!

s x = ∫ π 2 x 1 + f ' t 2 d t = ∫ π 2 x c o s s e c t   d t

s x = ln ⁡ c o s s e c t - c o t g t π 2 x = ln ⁡ c o s s e c x - c o t g t - ln ⁡ 1 - 0

s x = l n ⁡ | c o s s e c x - c o t g x |

Passo 3

Vamos agora plotar aqui a função f e a função do comprimento de arco s no mesmo gráfico. Aqui, vemos que s cresce no intervalo ( 0 , π ) e que x = 0 e x = π . Assim,

Resposta

  1. s x = l n ⁡ | c o s s e c x - c o t g x |   ;
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = 2 - cos ⁡ θ
Ache o comprimento do arco da curva 6 y 2 = x x - 2 2 no primeiro quadrante, do ponto ( 2,0 ) ao ponto 8,4 3 .
Ache as coordenadas do centro de massa de quatro partículas com igual massa localizadas nos pontos ( 3,0 ) ,( 2,2 ) ,( 2,4 ) e ( - 1,2 ) .
28- Uso de segmentos tangentes para deduzir a fórmula de comprimento das curvas Suponha que f seja lisa em [ a , b ] e divida o intervalo [ a , b ] da maneira usual. Em cada subintervalo x k - 1 , x k
Use um sistema de computação algébrica ou uma tabela de integrais para achar o comprimento de arco exato da curva y = ln ⁡ x que está entre os pontos ( 1,0 ) e ( 2 , ln ⁡ 2 ) .