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Em uma cidade com 12000 pessoas, a taxa de crescimento de uma epidemia de gripe é conjuntamente proporcional ao número de pessoas tiveram a gripe e ao número de pessoas que não a contraíram. Cinco dias atrás 400 pessoas estavam com gripe e hoje 1000 pessoas já foram contagiadas.

(a) Qual o número de pessoas com gripe amanhã?

(b) Em quantos dias a epidemia estará se alastrando o mais rápido possível? Isto é, quando é que metade da população será contagiada?

Passo 1

Essa é uma clássica questão de modelagem de problemas de crescimento por equações diferenciais! Precisamos obter uma função que descreva o número de pessoas infectadas em função do tempo. Vamos chamar o número de pessoas infectadas de y , assim teremos 12000 - y pessoas não infectadas.

A questão diz que a taxa de crescimento da epidemia é proporcional tanto ao número de pessoas infectadas ( y ) como ao número de pessoas não infectadas ( 12000 - y ). Assim,

d y d t = k y 12000 - y ,

onde k é uma constante de proporcionalidade. Trata-se de uma equação diferencial separável, de modo que

d y y   ( 12000 - y ) = k   d t

Passo 2

Integrando em ambos os lados, temos que

∫ d y y   ( 12000 - y ) = ∫ k   d t = k t + C

Note que a integral em y é feita usando frações parciais:

1 y   1 2 000 - y = A y + B 1 2 000 - y = 1 2 000 A - A y + B y y   ( 1 2 000 - y )

Assim, 1 2 000 A = 1 e - A + B = 0 . Portanto,

A = B = 1 1 2 000

Desta forma,

∫ d y y   ( 12000 - y ) = 1 1 20 00 ∫ 1 y + 1 1 2 000 - y   d y = 1 1 2 000 ∫ 1 y - 1 y - 1 2 000   d y

Logo,

∫ d y y   ( 12000 - y ) = 1 1 2 000 ln ⁡ y y - 1 2 000

Assim, temos que

1 1 2 000 ln ⁡ y y - 1 2 000 = k t + C

Portanto, passando o fator 1 2 000 multiplicando

ln ⁡ y y - 1 2 000 = 1 2 000 k t + C '

Note que C ' = 1 2 000 C .

Aplicando a exponencial dos dois lados:

y y - 1 2 000 = e 1 2 000 k t + C ' = e C ' ⋅ e 1 2 000 k t

Chamando A = ± e C ' , temos que

y y - 1 2 000 = A e 1 2 000 k t

Passo 3

O próximo passo é determinar o valor das constantes A e k . Para isso vamos usar duas informações do enunciado. A primeira é “cinco dias atrás 400 pessoas estavam com gripe”. Assim, para t = - 5 , temos que y = 400 :

400 400 - 12000 = A e - 60000 k ⇒ A e - 60000 k = - 400 11600 = - 4 116 = - 1 29

Portanto,

A e - 60000 k = - 1 29

A segunda informação dada é “hoje 1000 pessoas já foram contagiadas”. Assim, para t = 0 , temos que y = 1000 :

1000 1000 - 12000 = A e 0 ⇒ A = - 1000 11000 = - 1 11

Assim, substituindo na primeira equação:

- 1 11 e - 60000 k = - 1 29 ⇒ e - 60000 k = 11 29

Tomando o l n dos dois lados:

- 60000 k = ln ⁡ 11 29 = - ln ⁡ 29 11 ⇒ 12000 k = 1 5 ln ⁡ 29 11

Portanto,

e 12000 k t = e 1 5 ln ⁡ 29 11   t = e ln ⁡ 29 11 t / 5 = 29 11 t / 5

Desta forma, temos que

y y - 12000 = - 1 11 29 11 t / 5

Passo 4

No item (a) queremos o número de pessoas infectadas amanhã, isto é, em t = 1 . Assim,

y y - 12000 = - 1 11 29 11 1 5 = h

Logo,

y = h y - 12000 h ⇒ y = - 12000 h 1 - h

Calculando h :

h = - 1 11 29 11 1 5 ≈ - 0,1104

Assim,

y ≈ 1193

Portanto, o número de pessoas contaminadas amanhã será de aproximadamente 1193 pessoas.

Passo 5

No item (b) queremos saber em quando ocorre a taxa de crescimento máxima. A taxa de crescimento é dada por

k y ( 1 20 00 - y )

Ela será máxima para y = 6 000 pois

y 1 20 00 - y = - y 2 + 1 2 000 y

é uma função do segundo grau cujo máximo ocorre em P = 6 000 já que

- y 2 + 1 2 000 y ' = - 2 y + 1 2 000 = 0 ⇒ y = 6 000

Assim, queremos saber o valor de t tal que y = 6 000 . Substituindo isso na função encontrada:

6000 6000 - 12000 = - 1 11 29 11 t / 5

Logo,

- 1 11 29 11 t 5 = - 1 ⇒ 29 11 t 5 = 11

Aplicando l n nos dois lados:

t 5 ln ⁡ 29 11 = ln ⁡ 11 ⇒ t = 5 ln ⁡ 11 ln ⁡ 29 11

Desta forma, temos que a taxa de crescimento é máxima para

t ≈ 12,4

Resposta

( a )   1193 pessoas.

(b) 12,4 dias.

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