Enunciado

Ache o comprimento do arco da curva 9 x 2 3 + 4 y 2 3 = 36 no segundo quadrante do ponto onde x = - 1

Passo 1

Em questões desse tipo, teremos que inicialmente isolar o y , é um exercício em que a teoria e a fórmula são bem tranquilas! O que pode nos atrapalhar é a integração, mas vamos lá e com calma chegaremos na resposta!

Vamos fazer aquilo que falei para fazermos primeiro! Isolar o y :

4 y 2 3 = 36 - 9 x 2 3

y 2 3 = 36 - 9 x 2 3 4

y = 36 - 9 x 2 3 4 3 2

f ( x ) = y = 36 - 9 x 2 3 3 2 8

Passo 2

Agora que isolamos f ( x ) , faremos a sua derivada, pois a fórmula do comprimento do arco pede a derivada de f ( x ) :

f ( x ) = 36 - 9 x 2 3 3 2 8

Faremos a regra da cadeia para acharmos essa derivada! Lembra?

Diremos que f ( x ) , é uma função composto de funções h ( g ( x ) ) , e a derivada de f ' ( x ) é igual a :

f ' ( x ) = h ' ( g ( x ) ) g ' ( x )

Teremos que achar g ( x )   e h ( x ) . Temos essa parada aqui ó:

h ( g ( x ) ) = 36 - 9 x 2 3 3 2 8

Então:

g ( x ) = 36 - 9 x 2 3

Derivando temos:

g ' ( x ) = - 6 x - 1 3

Beleza! Agora vamos para o h ( x ) :

h ( x ) = x 3 2 8

h ' ( x ) = 3 x 1 2 16

h ' ( g ( x ) ) = 3 16 36 - 9 x 2 3 1 2

Apenas para facilitar um pouco, iremos tirar o 9 de dentro da raiz:

h ' ( g ( x ) ) = 9 16 4 - x 2 3 1 2

E para finalizar essa parte, iremos colocar a derivada de f ( x ) :

f ' ( x ) = h ' ( g ( x ) ) g ' ( x )

f ' ( x ) = 9 16 4 - x 2 3 1 2 - 6 x - 1 3

f ' ( x ) =   - 27 8 4 - x 2 3 1 2 x - 1 3

Passo 3

Beleza, com f ' ( x ) já calculada iremos elevar a expressão ao quadrado! Você se lembra da fórmula de comprimento de arco?

L = ∫ a b 1 + f ' ( x ) 2

Então, vamos elevar   f ' ( x ) ao quadrado!

f ' ( x ) 2 = 729 64 4 - x 2 3 x - 2 3

f ' ( x ) 2 = 729 64 4 x - 2 3 - 1

Agora iremos, fazer a integral!!! Vamos lá

∫ - 1 - 1 8 1 + 729 64 4 x - 2 3 - 1 d x = ∫ - 1 - 1 8 64 + ( 2916 x - 2 3 - 729 ) 64 = 1 8 ∫ - 1 - 1 8 2916 x - 2 3 - 665 d x

Focaremos nessa integral:

1 8 ∫ - 1 - 1 8 2916 x - 2 3 - 665 d x

Botaremos x - 2 3 em evidência, lembra que o ponto esta no 2 quadrante, então a raiz quadrada de x - 2 3 = - x - 1 3

1 8 ∫ - 1 - 1 8 2916 - 665 x - 2 3 x - 2 3 d x

Lembrando que:

665 x - 2 3 = 665 x 2 3

Vamos voltar para a integral:

1 8 ∫ - 1 - 1 8 2916 - 665 x 2 3   - x - 1 3 d x

Vamos fazer a integral por substituição:

2916 - 665 x 2 3 = u

Derivando temos:

d u = 0 - 1330 3 x - 1 3 d x

3 d u 1330 = - x - 1 3 d x

Substituindo na integral temos: 1 8 ∫ u 3 d u 1330

3 10644 ∫ u d u = 3 10644 2 3 u 3 2   +   c = 1 5320 u 3 2 + c

Voltando a variável inicial, temos:

1 8 ∫ - 1 - 1 8 2916 - 665 x 2 3   x - 1 3 d x = 1 5320 2916 - 665 x 2 3 3 2 - 1 8 - 1

Calculando essa integral definida temos que o comprimento desse arco será:

L = 1 5320 1 8 10999 3 2 - 2251 3 2 ≈ 7,03

Resposta

L = 1 5320 1 8 10999 3 2 - 2251 3 2 ≈ 7,03

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Ache o comprimento do arco da curva 9 y 2 = 4 x 3 da origem ao ponto 3 ,2 3 .
Ache o comprimento do arco da curva 8 y = x 4 + 2 x - 2 do ponto onde x = 1 até o onde x = 2 .
Use o Teorema 6.3.3 para encontrar o comprimento do arco da curva y 3 = 8 x 2 do ponto ( 1 ,2 ) ao ponto ( 27 ,18 ) .
Calcule o comprimento do segmento de reta x + 3 y = 4 do ponto ( - 2 ,2 ) ao ponto ( 4 ,0 ) por três métodos: (a) use a fórmula da distância. (b) use o Teorema 6.3.2. (c) use o Teorema 6.3.3.
Ache o comprimento do arco da curva y = 1 3 x ( 3 x - 1 ) do ponto onde x = 1 ao ponto onde x = 4 .