Enunciado

O comprimento de uma barra é 8 m e a densidade linear da barra num ponto 2 x m do extremo esquerdo é 2 x + 1 kg/m . ache a massa total da barra e seu centro de massa.

Passo 1

Para calcular a massa usamos que M= ∫ a b ρ x d x   , onde ρ x   é   a     f u n ç a o   d e n s i d a d e .

Como temos a função densidade, basta integrar utilizando o comprimento da barra como intervalo de integração, ou seja de 0 a 8 , visto que suponhamos a barra na origem

que M= ∫ 0 8   2 x + 1 d x   = 2 3 ( x + 1 ) 3 2   1 8 = 104 3

Passo 2

Para encontrar o centroide usamos o fato que x ' =   ∫ a b x ρ x d x   ∫ a b ρ x d x   onde x’ é a coordenada x do centroide,

Para calcular ∫ a b x ρ x d x =   ∫ 0 8   2 x x + 1 d x       usamos integração por partes, vamos lá.

Seja f ( x )   =   2 x derivando f’(x)= 2 e seja

g’(x) = x + 1 integrando g(x)= 2 3 x + 1 3 2

então ∫ 0 8   2 x x + 1 d x   =   2 x .   2 3 x + 1 3 2 - ∫ 2 3 x + 1 3 2   d x       aplicando o intervalos, temos

∫ 0 8   2 x x + 1 d x   = 288 - 129,6 = 158,4

Então

Passo 3

que x ' =   ∫ a b x ρ x d x   ∫ a b ρ x d x  

que x ' =   159 104 3 = 4,5

Resposta

M= 104 3 kg, x ' = 4,5 m

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