Enunciado

Ache o comprimento do arco da curva 9 y 2 = 4 x 3 da origem ao ponto 3 ,   2 3 .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva 9 y 2 = 4 x 3 do ponto ( 0 ,   0 ) até o ponto ( 3 ,   2 3 ) . A expressão para a distância é

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Isolando y :

y = 2 3 x 3 2

Assim,

y ' = 3 2 ⋅ 2 3 x 1 2 = x

Logo,

1 + y ' 2 = 1 + x

Assim,

L = ∫ 0 3 1 + x   d x

Passo 2

Para calcular essa integral, vamos fazer a substituição t = 1 + x ⇒ d t = d x . Assim, mudando os limites de integração:

L = ∫ 1 4 t   d t = ∫ 1 4 t 1 / 2   d t = 2 3 t 3 2 1 4

Assim,

L = 2 3 2 3 - 1 3 = 2 3 ⋅ 7 = 14 3

Desta forma, o comprimento da curva é 14 / 3 .

Resposta

14 3

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