Enunciado

Se f x = ∫ 0 x c o s t   d t     , ache o comprimento do arco do gráfico de f do ponto onde x=0 ao ponto onde x = 1 2 π .

Passo 1

Bom galera, primeiro vamos raciocinar com calma como vamos resolver isso. Primeiro, temos o esboço do gráfico a seguir:

Então queremos achar o comprimento do arco dessa abóboda acima. Para isso, vamos nos utilizar da nossa fórmula:

∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Passo 2

Temos então que se nosso f x = c o s t , nosso f ' x = - s i n x 2   c o s x

Então calculando o quadrado dessa função, temos que:

f ' x = - s i n x 2   c o s x

f ' x 2 = - s i n x 2   c o s x 2

f ' x 2 = 1 4   s e n ( x )   t a n ( x )

Passo 3

Agora, basta substituir o que nos achamos na nossa formula:

∫ a b 1 + f ' x 2 d x =   ∫ 0 π 2 1 + 1 4   s e n ( x )   t a n ( x ) d x

∫ 0 π 2 1 + 1 4   s e n ( x )   t a n ( x ) d x =   2.01

Resposta

x = 2.01

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