Ache (f^(-1))'(d) .

f(x) = tan(2x), -pi/4 <= x <= pi/4; d = 1

Passo 1

A questão fornece uma função f invertível e pede para acharmos a derivada da inversa em x = d . Por mais estranho que possa parecer, não precisamos achar uma expressão para f - 1 para achar sua derivada em um determinado ponto, podemos recorrer ao teorema 7.2.4 apresentado nessa seção do livro.

O teorema basicamente diz que se f c = d e f ' c ≠ 0 , então

f - 1 ' d = 1 f ' ( c )

Desta forma, basta conhecermos a derivada de f em x = c que saberemos a derivada de f - 1 em x = d .

Neste caso, temos que f x = tan ⁡ 2 x e d = 1 . O primeiro passo é descobrir c tal que f c = d . Assim, temos que

tan ⁡ 2 c = d = 1

Portanto,

2 c = π 4 ⇒ c = π 8

Passo 2

Agora precisamos achar f ' ( c ) . Derivando f :

f ' x = 2 sec 2 ⁡ 2 x

Assim,

f ' c = f ' π 8 = 2 sec 2 ⁡ π 4 = 2 ⋅ 2 = 4

Portanto,

f - 1 ' d = f - 1 ' 1 = 1 f ' ( c ) = 1 4

Resposta

1 4

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