Enunciado

Ache o comprimento da curva.

y = 1 + 6 x^(3 // 2) , 1 <= x <= 2

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y = 1 + 6 x^(3 // 2) , no intervalo 1 <= x <= 2 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Onde y^' é a derivada da nossa função e [ a , b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

O primeiro passo é derivar y :

y^' = 9 x^(1 // 2)

Assim, elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + (y^')^2 = 1 + (9 x^((1)/(2)))^2

1 + (y^')^2 = 1 + 9 x

Passo 3

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = int_1^2 (sqrt(1 + 9 x)) d x

Fazendo a substituição u = 1 + 9 x :. d u = 9 d x , temos:

L = (1)/(9) int_1^2 (u^((1)/(2))) d x

Integrando em relação a u :

L = [(u^((3)/(2)))/(27)]_1^2

L = [((1 + 9 x)^((3)/(2)))/(27)]_1^2

Substituindo os limites de integração:

L = ((1 + 9 * 2)^((3)/(2)))/(27) - ((1 + 9 * 1)^((3)/(2)))/(27)

L = (38 sqrt(19) - 20 sqrt(10))/(27)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

L = (38 sqrt(19) - 20 sqrt(10))/(27)

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Ache o centróide da região limitada pela parábola y = x e pela reta y = x 2 .
Ache o centroide da região no primeiro quadrante, limitadas pelos eixos coordenados e pela parábola y = 9 - x ² ²
Ache o comprimento do arco da curva 9 y 2 = 4 x 3 da origem ao ponto 3 ,2 3 .
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