Ache o comprimento da curva.

y = 1 + 6x^(3/2), 1 <= x <= 2

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y = 1 + 6 x 3 / 2 , no intervalo 1 ≤ x ≤ 2 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Onde y ' é a derivada da nossa função e [ a ,   b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

O primeiro passo é derivar y :

y ' = 9 x 1 / 2

Assim, elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + y ' 2 = 1 + 9 x 1 2 2

1 + y ' 2 = 1 + 9 x

Passo 3

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = ∫ 1 2 1 + 9 x   d x

Fazendo a substituição u = 1 + 9 x ∴ d u = 9   d x , temos:

L = 1 9 ∫ 1 2 u 1 2   d x

Integrando em relação a u :

L = u 3 2   27 1 2

L = 1 + 9 x 3 2   27 1 2

Substituindo os limites de integração:

L = 1 + 9 ∙ 2 3 2   27 - 1 + 9 ∙ 1 3 2   27

L = 38 19 - 20 10 27

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

L = 38 19 - 20 10 27

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