Ache o comprimento da curva.

y = e^x, 0 <= x <= 1

Passo 1

E aí, galerinha!

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado.

y = e x ,     0 ≤ x ≤ 1

Para isso, vamos usar a expressão

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Primeiro vamos achar y ' :

y ' = e x ⇒ 1 + y ' 2 = 1 + e 2 x

Veja só!

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = ∫ 0 1 1 + e 2 x   d x

Vamos fazer u = e x , de modo que d u = e x d x ⇒ d x = d u / u . Assim,

L = ∫ 1 e 1 + u 2 u   d u = ∫ 1 e 1 + u 2 u 2   u   d u

Agora façamos t = 1 + u 2 ⇒ d t = 2 u   d u . Assim,

L = 1 2 ∫ 2 1 + e 2 t t - 1   d t

Fazendo uma nova mudança, u = t - 1 :

L = 1 2 ∫ 1 e 2 u + 1 u   d u

Assim,

L = 1 2 2 u + 1 + ln ⁡ 1 - x + 1 1 + x + 1 1 e 2

Portanto,

L = 1 2 2 1 + e 2 + ln ⁡ 1 - e 2 + 1 1 + e 2 + 1 - 2 2 - ln ⁡ 2 - 1 2 + 1

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

1 2 2 1 + e 2 + ln ⁡ 1 - e 2 + 1 1 + e 2 + 1 - 2 2 - ln ⁡ 2 - 1 2 + 1

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