Enunciado

Encontre o ponto sobre a reta 6 x + y = 9 que está mais próximo do ponto ( - 3,1 ) .

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado é bem direto.

Queremos encontrar o ponto sobre a reta 6 x + y = 9 que está mais próximo do ponto ( - 3,1 ) .

Para isso, sabemos que a distância D de um ponto x , y a outro x 0 , y 0 é dada por:

D = x - x 0 2 + y - y 0 2

Mas antes, podemos escrever a equação da reta da seguinte forma:

y = 9 - 6 x

Passo 2

Fazendo x 0 , y 0 = ( - 3,1 ) , temos:

D = x + 3 2 + y - 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado e resolvendo, temos:

D = x + 3 2 + y - 1 2

D = x 2 + 6 x + 9 + y 2 - 2 y + 1

D = x 2 + 6 x + y 2 - 2 y + 10

Temos que   y = 9 - 6 x , então:

D = x 2 + 6 x + 9 - 6 x 2 - 2 9 - 6 x + 10

D = x 2 + 6 x + 81 - 108 x + 36 x 2 - 19 + 12 x + 10

D = 37 x 2 - 90 x + 72

Passo 3

Agora, para encontrarmos a menor distância, basta derivarmos e igualarmos a zero, daí

D ' = 74 x - 90

74 x - 90 = 0

x = 90 74 = 45 37

x = 45 37

Passo 4

Encontrando y

y = 9 - 6 45 37

y = 333 37 - 270 37

y = 63 37

Logo, encontramos o ponto:

45 37   , 63 37

Resposta

O ponto sobre a reta mais próximo do ponto - 3,1 é o ponto ( 45 / 37   ,     63 / 37 )

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