Enunciado

Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real

2 x 2 - 6 x + 3 < 0

Passo 1

Vamos completar o quadrado e isolar nosso quadrado pra começar. Depois usamos alguma propriedade de módulos para encontrar o nosso conjunto solução.

Passo 2

Vamos começar escrevendo 2 x 2 - 6 x + 3 como x 2 + 2 a x + a 2 . Fatorando o 2:

2 x 2 - 3 x + 3 2

Vemos do termo que acompanha o x que:

2 a =   - 3

Logo:

a = - 3 2

Somando e subtraindo - 3 2 2 :

2 x 2 - 3 x + 3 2 + - 3 2 2 - 3 2 2

Temos o quadrado x 2 - 3 x + 3 2 2 = x - 3 2 2 .   Substituindo, ficamos com:

2 ( x - 3 2 2 + 3 2 - - 3 2 2

Simplificando:

2 x - 3 2 2 - 3 2

Show! Podemos substituir agora na nossa inequação original:

2 x - 3 2 2 - 3 2 < 0

Passando o - 3 2 pro outro lado:

2 x - 3 2 2 < 3 2

Dividindo os dois lados por 2 :

x - 3 2 2 < 3 4

Tirando a raiz quadrada dos dois lados ficamos com:

Guarde no seu coração: x 2 = | x |

x - 3 2 < 3 4

A gente pode usar aquele teorema sobre módulos que diz o seguinte:

x < a   →   - a < x < a

Aplicando esse teorema ficamos com o sequinte:

- 3 2 < x - 3 2 < 3 2  

Agora somando 3 2 em todos os membros teremos nosso x isolado bonitão:

3 - 3 2 < x < 3 + 3 2

Só sucesso! Temos nosso conjunto solução 3 - 3 2 , 3 + 3 2 definido pelo intervalo acima.

Passo 3

Na reta numérica, ficamos com o intervalo entre 3 - 3 2 e 3 + 3 2 . Esse aqui ó:

Resposta

3 - 3 2 , 3 + 3 2

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