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Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A 1 a ( A 4 ) , ( M 1 ) a M 4 , D , O 1 a O 4 , O A e O M . Supondo x , y reais quaisquer, prove:

(Anulamento do produto)

x y = 0 ↔ x = 0 ou y = 0

Passo 1

Vamos lá, supondo que x y = 0 vamos provar que x = 0 ou y = 0 .

Se x ≠ 0 teremos também que x - 1 ≠ 0 , vamos agora multiplicar os dois membros de x y = 0 por x - 1 :

x - 1 ∙ x y = x - 1 ∙ 0

Agora vamos usar a propriedade associativa M 1 :

x - 1 ∙ x y = 0 → x - 1 ∙ x ∙ y = 0

Lembrando pela propriedade da existência do inverso M 4 que x ∙ x - 1 = 1 resulta em y = 0 .

E se tivermos y ≠ 0 , raciocinando da mesma forma chegamos a x = 0 .

Fica provado então que x y = 0 → x = 0 ou y = 0 .

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