Enunciado

Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real

6 - 5 x 3 + x ≤ 1 2

Passo 1

Podemos reescrever essa inequação usando aquela propriedade de inequações:

- 1 2 ≤ 6 - 5 x 3 + x ≤ 1 2

Ou seja:

6 - 5 x 3 + x ≥ - 1 2         e         6 - 5 x 3 + x ≤ 1 2

Isolando todo mundo de um lado em cada uma:

6 - 5 x 3 + x + 1 2 ≥ 0       e       6 - 5 x 3 + x - 1 2 ≤ 0

A partir dessas duas inequações vamos seguir um passo a passo pra cada uma delas

  1. Isolar todos os termos de um lado e simplificar em uma fração só
  2. Encontrar as raízes dos polinômios do numerador e do denominador
  3. Seccionar os números reais em intervalos delimitados pelas raízes encontradas
  4. Analisar o sinal de cada binômio para cada um dos intervalos e fazer uma tabelinha com esses sinais.
  5. Os intervalos onde a condição da nossa inequação for satisfeita serão os intervalos que formam o nosso conjunto solução!

Quando fizermos isso para as duas inequações é só juntar os intervalos e cabôsse!

Parece complicado, mas fazendo um passo por vez é tranquilinho ;)

Passo 2

Começando pela 1ª inequação:

6 - 5 x 3 + x + 1 2 ≥ 0      

Fazendo o MMC:

6 - 5 x + 1 2 3 + x 2 3 + x ≥ 0

Simplificando:

12 - 10 x + 3 + x 2 3 + x ≥ 0

- 9 x + 15 2 3 + x ≥ 0

- 3 x + 5 x + 3 ≥ 0

Multiplicando por - 1 :

Invertendo o sinal!

3 x - 5 x + 3 ≤ 0

Equação bonitinha!

Passo 3

Nossas raízes serão:

x 1 = - 3

x 2 = 5 3

Daí teremos nossos intervalos de análise pra a tabela: - ∞ ,   - 3 ,   - 3 , 5 3 ,   5 3 ,   + ∞

Como o nosso intervalo de interesse é fechado no 0 vamos ter que considerar o valor da nossa função nas raízes também! Se o nosso intervalo fosse < 0 ou > 0 não precisaríamos considerar as raízes na análise do sinal.

Passo 4

Montando nossa tabelinha de sinais:

Vemos que o intervalo que satisfaz a nossa condição 3 x - 5 x + 3 ≤ 0 é o intervalo:

- 3 , 5 3

Prontinho! Já temos um dos intervalos que formará o conjunto solução. Agora vamos repetir a mesma metodologia para o caso da 2ª inequação

Passo 5

Da 2ª equação:

6 - 5 x 3 + x - 1 2 ≤ 0

Fazendo o MMC e simplificando:

6 - 5 x - 1 2 3 + x 2 3 + x ≤ 0

12 - 10 x - 3 + x 2 3 + x ≤ 0

- 11 x + 9 2 3 + x ≤ 0

- 11 x + 9 x + 3 ≤ 0

Show! Agora vamos às nossas raízes.

Passo 6

As raízes do denominador e do numerador são:

x 1 = - 3

x 2 = 9 11

Agora podemos montar a nossa tabelinha com os seguintes intervalos:

- ∞ ,   - 3 ,   - 3 , 9 11 ,   9 11 ,   + ∞

Pra achar os intervalos onde a nossa equação - 11 x + 9 x + 3   é menor ou igual a 0 .

Como o intervalo é fechado, vamos considerar o valor da função nas raízes também!

Passo 7

Daí ficamos com a nossa tabelinha de análise de sinal:

Vemos que os intervalos que satisfazem a condição   - 11 x + 9 x + 3 ≤ 0 são:

- ∞ ,   - 3   o u   9 11 ,   + ∞

Passo 8

Pra finalizar é só fazer a interseção dos intervalos que encontramos, pois temos que satisfazer ambas as inequações simultaneamente.

- 3 , 5 3     e     - ∞ ,   - 3   o u   9 11 ,   + ∞

Que a gente também pode enxergar assim:

- 3 , 5 3   ∩     - ∞ ,   - 3 ∪   9 11 ,   + ∞

Ficamos com o seguinte conjunto solução:

9 11 , 5 3

Passo 9

Na reta numérica real ficamos com todos os números reais de 9 11   a 5 3 :

Incluindo eles!

Resposta

9 11 , 5 3

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