Ache dy / dx por derivação implícita

Passo 1

Queremos encontrar d y d x isolado:

Vamos derivar os dois lados em função de x:

d d x ( e x + e y ) = d d x ( e x + y )

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y ' que nada mais é que o d y d x :

Passo 2

Para o primeiro termo:

d d x ( e x + e y )

= e x + e y y '

Para o segundo termo da equação:

d d x ( e x + y )

Vamos usar a regra da cadeia:

f = e u

u = x + y

d d u ( e u ) = e u

d d x ( x + y ) = 1 + y '

Passo 3

Aplicando então a regra da cadeia:

= e u ( 1 + d d x ( y ) )

Substituindo u:

= e x + y 1 + d d x y

Passo 4

Assim, igualando os dois termos:

e x + e y y ' = e x + y ( 1 + y ' )

Isolando y’

e x + e y y ' = e x + y + e x + y y '

e y y ' = e x + y + e x + y y ' - e x

e y y ' - e x + y y ' = e x + y - e x

e y y ' ( 1 - e x ) = e x + y - e x

y ' = e x + y - e x e y ( 1 - e x )

y ' = e x ( e y - 1 ) e y ( 1 - e x )

y ' = e x - y ( e y - 1 ) ( 1 - e x )

Resposta

d y d x = e x - y ( e y - 1 ) ( 1 - e x )

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