Enunciado

Ache (d y)/(d x) por derivação implícita

Passo 1

Queremos encontrar (d y)/(d x) isolado:

Vamos derivar os dois lados em função de x:

(d)/(d x) ( e^x + e^y ) = (d)/(d x) ( e^(x + y) )

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y^' que nada mais é que o (d y)/(d x) :

Passo 2

Para o primeiro termo:

(d)/(d x) ( e^x + e^y )

= e^x + e^y y '

Para o segundo termo da equação:

(d)/(d x) ( e^(x + y) )

Vamos usar a regra da cadeia:

f = e^u

u = x + y

(d)/(d u) ( e^u ) = e^u

(d)/(d x) ( x + y ) = 1 + y '

Passo 3

Aplicando então a regra da cadeia:

= e^u ( 1 + (d)/(d x) ( y ) )

Substituindo u:

= e^(x + y) (1 + (d)/(d x) (y))

Passo 4

Assim, igualando os dois termos:

e^x + e^y y ' = e^(x + y) ( 1 + y^' )

Isolando y’

e^x + e^y y ' = e^(x + y) + e^(x + y) y^'

e^y y^' = e^(x + y) + e^(x + y) y^' - e^x

e^y y^' - e^(x + y) y^' = e^(x + y) - e^x

e^y y^' ( 1 - e^x ) = e^(x + y) - e^x

y^' = (e^(x + y) - e^x)/(e^y ( 1 - e^x ))

y^' = (e^x ( e^y - 1 ))/(e^y ( 1 - e^x ))

y^' = (e^(x - y) ( e^y - 1 ))/(( 1 - e^x ))

Resposta

(d y)/(d x) = (e^(x - y) ( e^y - 1 ))/(( 1 - e^x ))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva um parágrafo comparando os conceitos de definição explícita e implícita de uma função.
A Figura Ex-40 mostra alguns membros típicos das famílias de hipérboles x y=c (curvas pretas) e x 2-y 2=k (curvas cinzas), onde c ≠ 0 e k ≠ 0 . Use a sugestão do Exercício 39 para mostrar que essas fa
(a) Use o recurso de traçar gráficos implícitos de um CAS para esboçar o gráfico da curva C cuja equação é x 3-2 x y+y 3=0 . (b) Use o gráfico de (a) para dar um palpite sobre a coordenada x de um pon
Um estudante pergunta: “Suponha que uma derivação implícita num ponto forneça uma expressão indefinida. Isso significa que d y / d x não está definida nesse ponto?” Usando a equação x 2-2 x y+y 2 =0 c
Encontre as equações de duas retas pela origem que são tangentes à elipse de equação 2 x 2 -4 x+y 2+1=0 .