Enunciado

(a) Use o recurso de traçar gráficos implícitos de um CAS para esboçar o gráfico da curva C cuja equação é x 3   -   2 x y   +   y 3   =   0 .

(b) Use o gráfico de (a) para dar um palpite sobre a coordenada x de um ponto do primeiro quadrante que está em C e no qual a reta tangente a C é paralela à reta   y   =   - x .

(c) Use derivação implícita para verificar a conjectura em (b).

Passo 1

(a) Vamos usar aqui a calculadora CAS do Geogebra (dá para acessar pelo navegador) para esboçar esse gráfico aí.

Colocando a equação do enunciado lá, temos esse gráfico aqui:

Passo 2

(b) Escolher um ponto onde a reta tangente é paralela à reta y = - x é o mesmo que escolher um ponto onde o gráfico da nossa função está a aproximadamente a 45 ° no sentido horário.

A gente pode escolher esse ponto aqui:

Onde:

P = ( 1 ,   1 )

Nossa estimativa é:

x = 1

Passo 3

(c) Para verificar a nossa consejctura temos que ver se no ponto 1,1 , o coeficiente angular da nossa reta tangente é igual ao coeficiente de y = - x , que é m = - 1 . Isso demonstra que nesse ponto, elas são paralelas.

Já que:

m = d y d x

Vamos ter que derivar a nossa equação implicitamente.

Vamos lá!

Passo 4

Derivando nossa equação dos dois lados:

d d x x 3 - d d x 2 x y + d d x y 3 = d d x 0

Como y é uma função de x , em x y temos um produto de funções e em y x 3 temos uma função composta, por isso a gente precisa usar a regra do produto e a regra da cadeia:

3 x 2 - 2 ⋅ y + 2 x d y d x + 3 y 2 d y d x = 0

Agora isolamos d y / d x para achar m :

3 x 2 - 2 y - 2 x d y d x + 3 y 2 d y d x = 0 ∴ - 2 x d y d x + 3 y 2 d y d x = - 3 x 2 + 2 y

- 2 x + 3 y 2 d y d x = - 3 x 2 + 2 y

m = d y d x = - 3 x 2 + 2 y - 2 x + 3 y 2

Passo 5

Vamos substituir o ponto ( 1,1 ) para verificar se o nosso chute foi bom:

m = - 3 x 2 + 2 y - 2 x + 3 y 2 = - 3 + 2 - 2 + 3 = - 1

Deu - 1 igual ao coeficiente angular de y = - x , então nossa conjectura estava certinha. 😊

Resposta

  1. x = 1
  2. Conjectura estava certa. Verificação nos passos.

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