Enunciado

Ache a derivada da função h (x) = cosech^2 e^(2 x) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de funções polinomiais, hiperbólicas e exponenciais, então a ideia é usar a regra da cadeia sucessivamente.

Fica mais fácil da gente ver dessa forma aqui h (x) = (cosech e^(2 x))^2 .

Vendo que a função hiperbólica está dentro da polinomial, vamos derivar por fora primeiro (o polinômio) utilizando a fórmula (x^n) ' = n x^(n - 1) .

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

(u^n) ' = (n u^(n - 1)) * u '

Passo 2

No nosso exemplo, h (x) = underset(u)(ubrace ( cosech e^(2 x) ))^2 , logo u = cosech e^(2 x) e basta substituir na fórmula da derivada apresentada para n = 2 , ficando com

h ' (x) = [ (cosech e^(2 x))^2 ] ' = 2 (cosech e^(2 x))^(2 - 1) ( cosech e^(2 x) ) '

h ' (x) = 2 (cosech e^(2 x)) ( cosech e^(2 x) ) '

Passo 3

Agora precisamos da derivada de cosech e^(2 x) .

Devemos lembrar que ( cosech x ) ' = ( - coth x ) ( cosech x ) , porém, temos, no nosso exemplo, e^(2 x) no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia de novo

( cosech e^(2 x) ) ' = ( - coth e^(2 x) ) ( cosech e^(2 x) ) ( e^(2 x) ) '

Aqui usamos a derivada ( e^h ) ' = e^h * h ' , com h = 2 x .

( cosech e^(2 x) ) ' = ( - coth e^(2 x) ) ( cosech e^(2 x) ) * 2 e^(2 x)

Passo 4

Substituindo a derivada ( cosech e^(2 x) ) ' = ( - coth e^(2 x) ) ( cosech e^(2 x) ) * 2 e^(2 x) em

h ' (x) = 2 (cosech e^(2 x)) ( cosech e^(2 x) ) '

ficamos com

h ' (x) = 2 (cosech e^(2 x)) ( - coth e^(2 x) ) ( cosech e^(2 x) ) * 2 e^(2 x)

h ' (x) = - 4 e^(2 x) (cosech e^(2 x))^2 ( coth e^(2 x) )

Ufa! Tivemos que usar a regra da cadeia três vezes.

Resposta

h ' (x) = - 4 e^(2 x) (cosech e^(2 x))^2 ( coth e^(2 x) )

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