Ache a derivada da função h(x) = cosech^2(e^(2x)) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de funções polinomiais, hiperbólicas e exponenciais, então a ideia é usar a regra da cadeia sucessivamente.

Fica mais fácil da gente ver dessa forma aqui h x = cosech ⁡ e 2 x 2 .

Vendo que a função hiperbólica está dentro da polinomial, vamos derivar por fora primeiro (o polinômio) utilizando a fórmula x n ' = n x n - 1 .

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

u n ' = n u n - 1 ⋅ u '

Passo 2

No nosso exemplo, h x = ( cosech ⁡ e 2 x ) ⏟ u 2 , logo u = cosech ⁡ e 2 x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada para n = 2 , ficando com

h ' x = [ cosech ⁡ e 2 x 2 ] ' = 2 cosech ⁡ e 2 x 2 - 1 ( cosech ⁡ e 2 x ) '

h ' x = 2 cosech ⁡ e 2 x ( cosech ⁡ e 2 x ) '

Passo 3

Agora precisamos da derivada de cosech ⁡ e 2 x .

Devemos lembrar que ( cosech ⁡ x ⁡ ) ' = ( - coth ⁡ x ) ( cosech ⁡ x ) , porém, temos, no nosso exemplo, e 2 x no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia de novo

( cosech ⁡ e 2 x ⁡ ) ' = ( - coth ⁡ e 2 x ) ( cosech ⁡ e 2 x ) ( e 2 x ) '

Aqui usamos a derivada ( e h ) ' = e h ⋅ h ' , com h = 2 x .

( cosech ⁡ e 2 x ⁡ ) ' = ( - coth ⁡ e 2 x ) ( cosech ⁡ e 2 x ) ⋅ 2 e 2 x

Passo 4

Substituindo a derivada ( cosech ⁡ e 2 x ⁡ ) ' = ( - coth ⁡ e 2 x ) ( cosech ⁡ e 2 x ) ⋅ 2 e 2 x em

h ' x = 2 cosech ⁡ e 2 x ( cosech ⁡ e 2 x ) '

ficamos com

h ' x = 2 cosech ⁡ e 2 x ( - coth ⁡ e 2 x ) ( cosech ⁡ e 2 x ) ⋅ 2 e 2 x

h ' x = - 4 e 2 x cosech ⁡ e 2 x 2 ( coth ⁡ e 2 x )

Ufa! Tivemos que usar a regra da cadeia três vezes.

Resposta

h ' x = - 4 e 2 x cosech ⁡ e 2 x 2 ( coth ⁡ e 2 x )

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