Ache a derivada da função dada.

g(r) = cotg raiz(3r)

Passo 1

Precisamos achar a derivada da função dada. Por simplicidade, vamos aplicar as regra de derivação sem se preocupar com os domínio e só depois vamos ver qual é o domínio da derivada!

A derivada da cotangente é menos cotangente vezes cossecante, de modo que pela regra da cadeia:

g ' r = - c o t g   3 r   c o s s e c   3 r ⋅ 3 r '

Passo 2

A derivada de 3 r é calculada pela regra do tombo:

3 r ' = 3   r ' = 3   r 1 2 ' = 3 2 ⋅ r - 1 2 = 3 2 r

Assim,

g ' r = - 3   c o t g   3 r   c o s s e c   3 r 2 r

Devido a raiz no denominador, devemos ter r > 0 . Além disso, a cotangente e a cossecante não estão definidas onde o seno se anula, de modo que devemos ter s e n   3 r ≠ 0 , ou ainda

3 r ≠ n π ,   n ∈ Z ⇒ r ≠ n 2 π 2 3 ,   n ∈ Z

Resposta

g ' r = - 3   c o t g   3 r   c o s s e c   3 r 2 r

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