Enunciado

Encontre a 1000ª derivada de f (x) = x e^(- x) .

Passo 1

Provavelmente você deve estar pensando que o livro é louco em pedir para você derivar uma função 1000 vezes....

Bom, na verdade, o que o exercício quer de você é que você derive algumas vezes e tente achar um padrão e, daí, prever qual seria a 1000ª derivada. Vamos tentar fazer isso!!!

Passo 2

Vou denotar a primeira derivada por f^((1)) ( x ) , a segunda derivada por f^((2)) ( x ) , e assim por diante. A primeira derivada será:

f^((1)) (x) = 1 * e^(- x) + x * e^(- x) * (- 1) = (1 - x) e^(- x)

Tomando as próximas derivadas:

f^((2)) (x) = (- 1) * e^(- x) + (1 - x) * e^(- x) * (- 1) = (x - 2) e^(- x)

f^((3)) (x) = 1 * e^(- x) + (x - 2) * e^(- x) * (- 1) = (3 - x) e^(- x)

f^((4)) (x) = (- 1) * e^(- x) + (3 - x) * e^(- x) * (- 1) = (x - 4) e^(- x)

Já deu para pegar o padrão? Note que as derivadas pares são do tipo (x - a) e^(- x) e as ímpares são (a - x) e^(- x) , onde a é o índice da derivada. Como a 1000ª derivada é par, temos que

f^((1 000)) (x) = (x - 1000) e^(- x)

Resposta

f^((1000)) (x) = (x - 1000) e^(- x)

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