Encontre a 1000ª derivada de f(x) = x \* e^(-x) .

Passo 1

Provavelmente você deve estar pensando que o livro é louco em pedir para você derivar uma função 1000 vezes....

Bom, na verdade, o que o exercício quer de você é que você derive algumas vezes e tente achar um padrão e, daí, prever qual seria a 1000ª derivada. Vamos tentar fazer isso!!!

Passo 2

Vou denotar a primeira derivada por f 1 ( x ) , a segunda derivada por f 2 ( x ) , e assim por diante. A primeira derivada será:

f 1 x = 1 ⋅ e - x + x ⋅ e - x ⋅ - 1 = 1 - x   e - x

Tomando as próximas derivadas:

f 2 x = - 1 ⋅ e - x + 1 - x ⋅ e - x ⋅ - 1 = x - 2   e - x

f 3 x = 1 ⋅ e - x + x - 2 ⋅ e - x ⋅ - 1 = 3 - x   e - x

f 4 x = - 1 ⋅ e - x + 3 - x ⋅ e - x ⋅ - 1 = x - 4   e - x

Já deu para pegar o padrão? Note que as derivadas pares são do tipo x - a   e - x e as ímpares são a - x   e - x , onde a é o índice da derivada. Como a 1000ª derivada é par, temos que

f 1 000 x = x - 1000   e - x

Resposta

f 1000 x = x - 1000   e - x

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