Enunciado

Ache a derivada da função

y = int_(sqrt(x))^(x^3) sqrt(t) sin (t) d t

Passo 1

Quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte

Se

y = int_a^x f ( t ) d t

Então

y ' = f ( x )

Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?! Então vamos substituir esta integral por duas integrais da seguinte forma

y = int_(sqrt(x))^(x^3) sqrt(t) sin (t) d t = int_(sqrt(x))^1 sqrt(t) sin (t) d t + int_1^(x^3) sqrt(t) sin (t) d t

Vamos também trocar os limites de integração para ficarmos com as duas integrais indo de 1 até o limite superior

y = - int_1^(sqrt(x)) sqrt(t) sin (t) d t + int_1^(x^3) sqrt(t) sin (t) d t

Passo 2

Agora que já relembramos o teorema fundamental do cálculo, vamos dizer o seguinte, seja

w = sqrt(x) e z = x^3

Temos que

(d w)/(d x) = (1)/(2 sqrt(x)) e (d z)/(d x) = 3 x^2

Então, se substituirmos na função y , ficamos com

y = - int_1^w sqrt(t) sin (t) d t + int_1^z sqrt(t) sin (t) d t

Passo 3

Agora, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Calculo, mas note que os limites superiores não são x , mas sim w e z , então precisamos usar a regra da cadeia para encontrarmos y ' .

y^' = - sqrt(w) sin (w) (d w)/(d x) + sqrt(z) sin (z) (d z)/(d x)

y^' = - sqrt(sqrt(x)) * sin (sqrt(x)) * (1)/(2 sqrt(x)) + sqrt(x^3) * sin (x^3) * 3 x^2

y^' = - (root(4)(x) sin (sqrt(x)))/(2 sqrt(x)) + 3 x^((7)/(2)) s i n ( x^3 )

y^' = 3 sin (x^3) x^((7)/(2)) - (sin (sqrt(x)))/(2 root(4)(x))

Resposta

y^' = 3 sin (x^3) x^((7)/(2)) - (sin (sqrt(x)))/(2 root(4)(x))

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