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Cada uma das seguintes funções resolve um dos problemas de valor inicial dos Exercícios 65-68. Qual função resolve qual problema? Justifique brevemente suas respostas.

y = ∫ 1 x 1 t d t - 3

y = ∫ 0 x sec ⁡ t d t + 4

y = ∫ - 1 x sec ⁡ t d t + 4

y = ∫ π x 1 t d t - 3

d y d x = 1 x ,       y π = - 3

Passo 1

Galera, nesses exercícios a boa é usar o teorema fundamental do cálculo e derivar as expressões dadas no enunciado para ver qual das funções dada bate com o lado direito da equação do problema.

Sempre temos que avaliar se no ponto dado a função satisfaz a condição inicial!

Passo 2

Então vamos derivar os monstrinhos. Vamos começar pelo primeiro:

y = ∫ 1 x 1 t d t - 3 → d y d x = d d x ∫ 1 x 1 t d t - 3 = d d x ∫ 1 x 1 t d t - d d x 3

Agora vamos usar o teorema fundamental do cálculo que diz o seguinte

d d x ∫ a g x f ( t ) d t = f g x ⋅ g ' ( x )

Aqui no nosso exercício temos que

f t = 1 t

g x = x → g ' x = 1

Logo, temos que

d y d x = 1 x ⋅ 1 - 0 = 1 x

Legal esse cara satisfaz o lado direito da igualdade, agora basta verificar a condição inicial

Passo 3

A condição inicial aqui é y π = - 3 . Então vamos substituir x = π e ver se temos como resultado - 3 !

y = ∫ 1 x 1 t d t - 3 → ∫ 1 π 1 t d t - 3

Temos que f t = 1 t é uma função sempre positiva no intervalo dado de integração. Então o valor da integral é positivo. Logo, estou somando um valor positivo ao ( - 3 ) . Isso nunca vai dar - 3 então essa não é a nossa solução.

Passo 4

Mas olha esse monstrinho aqui:

y = ∫ π x 1 t d t - 3

Como essa função só muda o valor da constante no limite inferior da integral isso não muda o valor da derivada, ou seja

d y d x = 1 x

Então ela também é uma possibilidade para a nossa solução basta verificar a condição inicial

Passo 5

Vamos substituir x = π e ver se temos como resultado - 3 !

y = ∫ π x 1 t d t - 3 → ∫ π π 1 t d t - 3

Mas agora como o limite superior e inferior da integral coincidem, temos que o valor da integral é zero, logo:

∫ π π 1 t d t - 3 = 0 - 3 = - 3

Opa! Achamos o cara que satisfaz tanto a equação dada como a condição inicial. Ele vai ser a nossa solução!

Resposta

y = ∫ π x 1 t d t - 3

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