Enunciado

Demonstre que, se k é uma constante positiva, então a área entre o eixo x e um arco da curva y = sen ⁡ k x é 2 / k .

Passo 1

Aqui não tem jeito, precisamos calcular o valor dessa área. Área entre curva e eixo só tem uma solução: integral neles!

O que vamos precisar descobrir são os limites de integração que vão ser os pontos onde a nossa função y toca o eixo x .

Passo 2

Para descobrir esses valores (que serão nossos limites de integração), precisamos descobrir as raízes da equação y = sen ⁡ k x . Fazemos isso igualando a expressão a 0 .

sen ⁡ k x = 0

Agora precisamos nos perguntar onde que o seno é zero? E pelo círculo trigonométrico sabemos que é no zero e no π . Então as raízes ocorrem quando o argumento assume esses valores, então

k x = 0 → x = 0

k x = π → x = π k

Esses serão os nossos limites de integração

Passo 3

Agora é só montar a integral e correr para o abraço

A = ∫ 0 π k sen ⁡ k x d x

Agora precisamos resolver essa bendita aí!

Quem derivando obtemos seno? Menos cosseno certo?! Então poderíamos pensar que a primitiva é:

- cos ⁡ k x

Então é bem parecida na verdade! A diferença é que quando derivamos a expressão acima, pela regra da cadeia, aparece um k multiplicando, então vamos dividir tudo por k e fica tudo certo

- cos ⁡ k x k

Logo,

A = ∫ 0 π k sen ⁡ k x d x = - cos ⁡ k x k 0 π k = - 1 k cos ⁡ π - cos ⁡ 0 = 2 k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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