Enunciado

Ache dois números não-negativos cuja soma seja 12 e tais que seu produto seja um máximo absoluto.

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos montar um sistema com a e b sendo esses dois números. Dessa forma,

a + b = 12

P = a b

Precisamos descobrir os números tal que P seja o máximo absoluto. Para isso, vamos isolar a na primeira equação a = 12 - b e substituir em P .

P = 12 - b b = 12 b - b 2

P b = 12 b - b 2

Perceba que agora nós temos o produto em função dos valores de b .

Passo 2

Para achar o máximo absoluto, nós podemos derivar P em relação a b e perceba que temos, em termos gráficos, uma parábola com concavidade virada para baixo, o que nos dá justamente um máximo absoluto.

P ' b = 12 - 2 b

Agora igualamos a 0 .

12 - 2 b = 0         →             2 b = 12           →             b = 6

Se b = 6 , então a = 6 e o máximo absoluto será 6 ⋅ 6 = 36 .

Resposta

a = b = 6

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