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Ache a equação polar da cônica que satisfaz as condições dadas e faça um esboço do gráfico. Um foco na origem; um vértice em (6, 1 2 π ); e = 3 4 .

Passo 1

E ai, vamos começar a calcular? Errado!!! Muito cuidado, sempre que tivermos qualquer questão de gemotria analítica devemos fazer um esboço de seja o que a questão der e fazer uma análise do nosso desenho. Nesse caso temos o ponto de um dos vértices ( 6 ,   π 2 ) e o ponto do foco ( 0 ,   0 ) lembrando que essas coordenadas estão no sistema de coordenadas polares.

Opa, não vamos deixar de lado a excentricidade que a questão nos deu. Observando que ela é menor do que zero ( e = 3 4 < 0 ) temos a valiosa informação que estamos falando de uma elipse! Te dando mais uma dica sobre as cônicas, você deve olhar para o foco como se ele estivesse puxando a curva pra ele.

Olhando para aquele nosso esboço percebemos que o foco está abaixo do vértice, logo ele tentará puxar a figura pra baixo, formando um elipse vertical que, se me lembro bem, possui a seguinte fórmula:

r = e d 1 + e   s e n   θ   ( 1 )

Passo 2

Se um dos vértices é o ponto ( 6 , π 2 ) e sabemos o valor da excentricidade ( e = 3 4 ), então só mandar ver substituindo as variáveis da equação (1):

6 = 3 4 × d 1 + 3 4 s e n ( π 2 )

6 × 4 3 = d 1 + 3 4

8 = d 7 4

d = 14

Passo 3

Agora que conhecemos o valor de d e o valor de e não ta faltando mais nada pra responder a primeira parte da questão. Pega aquela fórmula (1) e é só substituir os valores que descobrimos nela:

r = 3 4 × 14 1 + 3 4   s e n   θ = 3 × 14 4 + 3 s e n ( θ ) = 42 4 + 3   s e n ( θ )

r = 42 4 + 3   s e n   θ   ( 2 )

Passo 4

Pra acabar de vez vamos só preparar um eixo de coordenadas polares e substituir alguns valores de θ na equação da elipse (2) e descobrir o raio correspondente a cada um desses agulos para fazer a marcação. Mas não inventa moda, use os ângulos mais fáceis e que estamos habituados a usar: θ = 0 , π 6 , π 4 , π 3 , π 2 e seus complementares.

Resposta

r = 42 4 + 3   s e n   θ

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