Enunciado

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Simplifique a equação dada por uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.

3 x 2 - 3 x y - y 2 - 6 y = 0

Passo 1

Chegamos em um ponto das cônicas que elas além de não estarem fora do centro, elas estão “tortas”, ou seja, rotacionaram em torno do centro. A primeira coisa que devemos saber aqui é qual o formato dessa cônica. Vamos para uma regrinha bem básica. As cônicas em rotação vão obedecer a esse formato de equação (B diferente de 0).

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Em que:

c o t g 2 a = A - C B

Sendo a o ângulo de rotação.

Após rotação, a nossa função assume parâmetros x‘ e y’. E temos mais um conjunto de relações.

x = x ' c o s a - y ' s e n a

y = x ' s e n a + y ' c o s a

Sabendo disso, bora ANIQUILAR essa questão!

Passo 2

Antecipando pra vocês, essas questões exigem uma álgebra um pouco mais apurada que o normal, por isso, vamos com calma.

Para essa questão, temos que:

c o t g 2 a = A - C B

c o t g 2 a = 4 - 3

Logo,

cos ⁡ a = 3 10 10

sen ⁡ a = 10 10

Passo 3

Vamos para a nossa outra transformação.

x = x ` 3 10 10 - y ` 10 10

y = x ` 10 10 + y ` 3 10 10

E agora substituímos na nossa equação principal para acharmos a nossa equação com rotação.

3 x 2 - 3 x y - y 2 - 6 y = 0

17 x ' 2 + 3 y ' 2 - 48 x ' y ' - 6 x ' 10 - 18 y ' 10 = 0  

Gerando esse esboço:

Em verde a hipérbole antes da rotação e em vermelho após a rotação e translação.

Resposta

17 x ' 2 + 3 y ' 2 - 48 x ' y ' - 6 x ' 10 - 18 y ' 10 = 0  

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