Enunciado

Ache uma equação da reta normal à curva y = e 2 x no ponto onde x = ln ⁡ 2 .

Passo 1

Antes vamos deixar claro o ponto que vamos trabalhar, como x = ln ⁡ 2 :

y = e 2 ln ⁡ 2 ∴ y = 4

ln ⁡ 2 ,   4

Agora vamos achar a inclinação da nossa curva y = e 2 x   através da derivada:

y ' = 2 e 2 x

Em seguida, vamos encontrar a inclinação da curva no ponto dado:

y ' = 2 e 2 x

y ' = 2 e 2 ln ⁡ 2   ∴ y ' = 8

Como queremos a reta normal (perpendicular), o seu coeficiente angular precisa ser o oposto do inverso do coeficiente da tangente que encontramos.

Assim, o coeficiente angular da nossa reta normal será:

m = - 1 8

Por último, tendo a inclinação e um ponto pelo qual nossa reta vai passar, podemos montar nossa equação da reta:

y - y 0 = m x - x 0

y - 4 = - 1 8 x - ln ⁡ 2

y = - 1 8 x - ln ⁡ 2 + 4

Resposta

y = - 1 8 x - ln ⁡ 2 + 4

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