Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = 8 4 + 3 x     ,     4,2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a equação da reta tangente à curva:

y = 8 4 + 3 x

No ponto 4,2 .

Para isso, precisamos saber que a equação da reta tangente é do formato:

y - y ₀ = m x - x ₀

O valor m é a inclinação da reta, e é achado calculando a primeira derivada da função e aplicando o valor do ponto pedido.

E x 0 , y 0 é o ponto inicial (dado no enunciado).

Vamos então fazer isso aos poucos, certinho? 😉

Passo 2

Primeiro vamos arrumar um pouco essa função:

y = 8 4 + 3 x = 8 4 + 3 x - 1 2

Passo 3

Vamos agora derivar, usando a regra da cadeia, que é dada da seguinte forma:

F ' x = f ' g x . g ' x

Também vamos aplicar a regra da função constante e da multiplicação por constante:

c ' = 0 e k f x ' = k f ' ( x )

Assim, aplicando essas regrinhas, temos:

y ' = 8 4 + 3 x - 1 2 '

y ' = 8 . - 1 2 . 4 + 3 x - 1 2 - 1 . 4 + 3 x '

y ' = - 4 4 + 3 x - 3 2 . 0 + 3 x 1 - 1

y ' = - 4 4 + 3 x - 3 2 . 3.1

y ' = - 12 4 + 3 x 3 2

Passo 4

Vamos agora aplicar no ponto 4,2 nessa derivada que acabamos de encontrar para descobrir m :

f ' 4 = - 12 4 + 3.4 3 2 = - 3 16 = m

Passo 5

Agora é só substituir na fórmula da equação da reta, utilizando o ponto dado:

y - 2 = - 3 16 x - 4 ∴

y = - 3 x 16 + 12 16 + 2 ∴

y = - 3 x 16 + 11 4

Resposta

y = - 3 x 16 + 11 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma equação para a curva dada no ponto especificado. y = 1 s e nx+ cos ⁡ x , em 0,1
Encontre uma equação para a curva dada no ponto especificado. y = e x cos ⁡ x , em 0,1
a) Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 x sin ⁡ x no ponto π 2 , π .b) Ilustre a a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tangente na mesma tela.
Encontre uma equação para a curva dada no ponto especificado. y = x + cos ⁡ x , em 0,1
Encontre uma equação para a curva dada no ponto especificado. y = sec ⁡ x , em π 3 , 2