Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = x 2 e - x     ,     1 , 1 e

Passo 1

Temos que a equação da reta tangente é do formato:

y - y ₀ = m x - x ₀

O valor m é a inclinação da reta, e é achado calculando a primeira derivada da função e aplicando o valor do ponto pedido, vamos então fazer isso aos poucos.

Passo 2

Aqui vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x ²

e

g x = e - x

Assim:

y ' = x 2 e - x ' = x ² ' e - x + e - x ' x ²

Passo 3

Usamos a regra do polinômio pra calcular f ' x :

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' ( x ) = x ² ' = 2 . x 2 - 1 = 2 x 1 = 2 x

Passo 4

Já para calcular g ' ( x ) vamos usar a regra da função exponencial:

e f x ' = e f x . f ' ( x )

Assim temos:

g ' ( x ) = e - x ' = e - x . - x ' = e - x . - x 1 - 1 = e - x . - x 0 = e - x . - 1 = - e - x

Passo 5

Agora é só substituir na expressão do passo 2 :

y ' = x 2 ' e - x + e - x ' x 2 = 2 x e - x + - e - x . x ² = 2 x e - x - x ² e - x

Passo 6

Vamos agora aplicar no ponto 1 , 1 e :

f ' 1 = 2.1 . e - 1 - 1 ² . e - 1 = 2 e - 1 e = 1 e = m

Passo 7

Agora é só substituir na fórmula da equação da reta, utilizando o ponto dado:

y - 1 e = 1 e x - 1 → y = x e - 1 e + 1 e → y = x e

Resposta

y - 1 e = 1 e x - 1 → y = x e

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