Enunciado

Ache uma equação da reta que passa por (2,5) e faz com a reta 3x - 4y + 7 = 0 um ângulo cuja medida em radianos é π 4 .

Passo 1

Neste problema, sabendo a equação da Reta 1 (3x - 4y + 7 = 0) queremos obter a equação da Reta 2 que forma com a primeira um ângulo de π 4 e que passa pelo ponto P (2,5).

Para começar, vamos desenhar a situação.

Sendo assim podemos tirar duas conclusões:

θ = π 4 = 45 °

E reorganizando a equação da Reta 1:

y = 3 x + 7 4

y = 0,75 x + 1,75

Com estes dados podemos obter a inclinação da reta 2 e sua equação.

Passo 2

Antes de obter a equação da reta precisamos achar a inclinação da reta 2. O Teorema 1.6.7 nos diz que:

t g   α = m

Com esse teorema podemos obter o ângulo α a partir da inclinação m para a reta 1:

t g   α 1 = m 1

t g   α 1 = 0,75

O ângulo α 1 é calculado obtendo o arco tangente de 0,75:

α 1 = 36,9 °

Em radianos:

α 1 = 0,205 π

Podemos dizer que o ângulo θ entre as retas é a diferença do ângulo α 2 e α 1 :

θ = α 2 - α 1

π 4 = α 2 - 0,205 π

α 2 = 0,455 π

Sendo assim:

t g α 2 = t g   0,455 π = 7

Então:

m 2 = 7

Passo 3

Com a inclinação podemos obter a equação da reta 2, que passa pelo ponto P.

Sabendo que essa equação pode ser dada por:

y - y P = m 2 ( x - x P )

Substituindo os pontos de P e a inclinação:

y - 5 = 7 ( x - 2 )

y - 5 - 7 x + 14 = 0

Rearranjando:

- 7 x + y + 9 = 0

Resposta

A equação da reta é:

- 7 x + y + 9 = 0

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