Enunciado

Ache uma equação da reta tangente à curva y = 4 t g 2 x no ponto x = π 8 .

Passo 1

Para começar, a questão pede para a gente encontrar a reta tangente, então vamos precisar derivar y, mas precisamos primeiro encontrar o valor de y para o valor de x que foi dado:

y π 8 = 4 t g 2 π 8 = 4 t g π 4 = 4

Vamos usar esse valor mais tarde para calcular a equação da nossa reta.

Passo 2

Agora vamos fazer a derivada de y. Precisamos aplicar a Regra da Cadeia, fazemos a derivada da função de fora primeiro:

d d t 4 t g t = 4 s e c 2 t

E então substituímos t pela função que está dentro e multiplicamos pela derivada dela:

4 s e c 2 2 x d d x ( 2 x )

E resolvendo essa última parte, fica:

y ' ( x ) = 8 s e c 2 2 x

Passo 3

Agora que já temos a derivada da função, precisamos aplicar o ponto que foi dado no enunciado, para descobrirmos qual é a inclinação da reta tangente:

y ' π 8 = 8 s e c 2 2 π 8 = 24

Passo 4

Temos toda informação sobre a nossa reta, então basta escrevermos a equação da reta que pode ser dada por:

y - y p = T ( x - x p )

Aqui, T é a inclinação,   x p e y p são as coordenadas do ponto, como temos todos esses valores, basta substituir:

y - 4 = 24 x - π 8

Simplificando:

y = 24 x - 3 π + 4

Essa será nossa reta tangente à curva dada.

Resposta

y = 24 x - 3 π + 4

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