Enunciado

Uma onda produzida por um som simples tem a equação P t = 0,003 s e n 180 π t , onde P ( t ) d i n a s / c m 2 é a diferença de pressão atmosférica e a pressão do ar no tímpano, em t s. Ache a taxa de variação instantânea de P ( t ) em relação a t em (a) 1 9 s ; (b)   1 8 s ; (c)   1 7 s .

Passo 1

A questão pede para a gente calcular a taxa da equação de pressão de uma onda. Como falamos de taxa, precisamos calcular a derivada da função que está dada no enunciado:

P t = 0,003 s e n 180 π t

Precisamos calcular:

P ' t = d d t ( 0,003 s e n 180 π t )

Passo 2

Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, primeiro derivamos a função de fora, no caso o seno:

d d x 0,003 s e n x = 0,003 c o s x

Substituímos x pela nossa função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

P ' t = 0,003 c o s 180 π t d d t ( 180 π t )

Resolvendo a derivada:

P ' t = 0,003 c o s 180 π t   .   180 π

Simplificando:

P ' t = 0,54 c o s 180 π t

Passo 3

Para a letra (a) vamos substituir o valor que foi dado na nossa equação de taxa:

P ' 1 9 = 0,54 cos ⁡ 180 π 1 9 = 0,54 cos ⁡ 20 π = 0,54 d i n a s / c m 2

Passo 4

E nas letras (b) e (c) repetiremos o processo:

P ' 1 8 = 0,54 cos ⁡ 180 π 1 8 = 0,54 c o s ⁡ 45 2 π = 0

Passo 5

E por fim para a letra (c):

P ' 1 7 = 0,54 cos ⁡ 180 π 1 7 = 0,54 c o s ⁡ 180 7 π ≅ 0,34 d i n a s / c m 2

Resposta

  1. P ' 1 9 = 0,54 d i n a s / c m 2
  2. P ' 1 8 = 0
  3. P ' 1 7 = 0,34 d i n a s / c m 2
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