Enunciado

Ache uma equação de reta tangente ao gráfico da função secante no ponto

  1. x = π 4
  2. x = - π 4
  3. x = 3 π 4

Passo 1

Bom, a questão pede para encontrarmos a reta tangente, ou seja, a reta que encosta em um único ponto da função no gráfico:

No caso da letra a) esse ponto tem coordenada x = π 4 . O valor da nossa função nesse ponto é:

f x = s e c x

f 0 = s e c π 4 = 2

Passo 2

Agora que já sabemos os valores de x e y no gráfico, devemos encontrar a inclinação dessa reta. Para isso calculamos o valor da derivada nesse mesmo ponto:

f ' x = t a n x s e c x

No ponto x = 0 :

f ' π 4 = t a n π 4 s e c π 4 = 2

Passo 3

Já temos tudo para escrever a equação da reta que passa no ponto π 4 , 2   da nossa função secante, a equação da reta é escrita assim:

y - y p = T ( x - x p )

T é o valor da inclinação da reta que calculamos antes, que no caso do item a) é 1. E x p e y p são as coordenadas do ponto que encontramos onde passa a reta, nossa equação então fica:

y - 2 = 2 ( x - π 4 )

E isso é:

y = 2 x - π 4 + 1

E a reta no gráfico ficará assim:

Passo 4

Para as letras b) e c) repetimos o mesmo processo, a letra b) o valor da função em que x = π 3 é

f - π 4 = s e c   - π 4 =   2

E a inclinação, calculada pela derivada da função:

f ' - π 4 = tan - π 4 sec ⁡ - π 4 =   - 2

Tendo o valor da inclinação e do ponto - π 4 ,     2 , já podemos escrever a equação da reta:

y - 2 =   - 2 x - - π 4

y = 2 1 - x - π 4

Passo 5

E por fim, na letra c), com x = 3 π 4 a função fica:

f 3 π 4 = s e c   3 π 4 =   - 2

E a inclinação, será:

f ' 3 π 4 = t a n   3 π 4 s e c   3 π 4 = 2

E a equação da reta tangente ao ponto   3 π 4 ,   - 2 será:

y - ( - 2 ) = 2 x - 3 π 4

y + 2 = 2 x - 3 π 4

y = 2 x - 3 π 4 - 1

Resposta

  1. y = 2 x - π 4 + 1
  2. y = 2 1 - x - π 4
  3. y = 2 x - 3 π 4 - 1
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