Enunciado

Nos Exercicicios de 41 a 46, é dada uma equação. Faça o seguinte em cada um destes problemas: (a) Ache duas funções definidas pela equação equação e estabeleça os seus domínios. (b) Faça um esboço do gráfico de cada uma das funções obtidas na parte (a). (c) Faça um esboço gráfico da equação. (d) Ache a derivada de cada uma das funções obtidas na parte (a) e estabeleça seus domínios. (e) Ache d x d y por derivação implícita da equação dada e comprove que o resultado assim obtido está de acordo com a parte (d). (f) Ache uma equaçãi da reta tangente em cada valor dado de x 1 .

42. x 2 + y 2 = 25 ; x 1 = 4

Passo 1

Nesta questão, não tem muito o que extrair do enunciado, basta apenas reproduzir o que está sendo pedido em cada letra para chegar na resposta. Porém, devemos está atentos nas letras (d) e (e) onde são utilizado os conceitos de derivada e derivada implícita,respectivamente.

Na hora de resolver o item (d) deve – se atentar que Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice – versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Letra (a)

y 2 = 25 - x 2

y = ± 25 - x 2

f 1 ( x ) = 25 - x 2     D o m í n o = x ≤ 5

f 2 ( x ) = - 25 - x 2         D o m í n o = x ≤ 5

Passo 3

Letra (b)

Gráfico de f 1 ( x )

Gráfico de f 2 ( x )

Passo 4

Letra (c)

Esboço do gráfico da equação

Passo 5

Letra (d)

A Derivada e o respectivo domínio de f 1 ´ x e f 2 ´ ( x ) é igual a

f 1 ´ x = - x 25 - x 2 - 1 2   ,     D o m í n i o =   x < 5

f 2 ´ x = x 25 - x 2 - 1 2     ,     D o m í n i o =   x < 5

Passo 6

Letra (e)

Encontrando dy/dx por derivação implícita temos

2 x d x d x + 2 y d y d x = 0

d y d x = - x y

Se y = f 1 ( x ) = 25 - x 2 , então d y d x = - x y = - x 25 - x 2 = f 1 ´ x

Se y = f 2 ( x ) = - 25 - x 2 , então d y d x = - x y = - x - 25 - x 2 = f 2 ´ x

Passo 7

Letra (f)

Como sabemos que o coeficiente angular da reta tangente é igual a a = f´ (x) = dy/dx e que reta tangente apresenta a seguinte equação : Y = ax + b , podemos encontrar qual é a reta tangente a curva dada no valor de x1.

Se x1 = 4 , então y = ± 3 . Assim, aplicamos um dos valores de y na derivada obtida implicitamente para encontrar o valor de a no ponto.

a = - 4 3

Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma

y = - 4 3 . x + b

Passo 8

Substituindo o ponto na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b 

3 = - 4 3 4 + b

b = 25 3

Assim , a equeção de uma das retas tangentes à curva no ponto (4,3) é

y = 1 3 ( - 4 x + 25 )

A outra equação da reta tangente pode ser obtida substituindo o outro valor de y na derivada obtida implicitamente e repetindo as mesmas etapas seguidas para encontrar a reta acima.

Resposta

(a) f 1 ( x ) = 25 - x 2     D o m í n o = x ≤ 5

f 2 ( x ) = - 25 - x 2         D o m í n o = x ≤ 5

(b) gráfico

(c) gráfico

(d)

f 1 ´ x = - x 25 - x 2 - 1 2   ,     D o m í n i o =   x < 5

f 2 ´ x = x 25 - x 2 - 1 2     ,     D o m í n i o =   x < 5

(e)

(f) y = 1 3 ( - 4 x + 25 )

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