Enunciado

51. Seja f a função potência definida por f x =   x r , onde r é um número racional qualquer. Supondo que f seja derivável, use a derivação implícita para mostrar que f ´ x =   r x r - 1 .

Passo 1

Nesta questão devemos utilizar o conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Além disso, devemos utilizar a sugestão que ele nos da no enunciado de substituir f(X) por y.

Passo 2

Como temos que y = f x , podemos escrever então y = x r . Como isso, temos também que d y d x = f ´ x .

Passo 3

Derivando a equação dada e utilizando o item 2 mostrado acima vem

1 . d y d x = r . x r - 1 . d x d x

d y d x =   r . x r - 1

Como d y d x = f ´ x , temos

f ´ x =   r . x r - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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