Enunciado

49. Ache equações das retas tangentes à cruva x 2 / 3 + y 2 / 3 = 1 nos pontos onde x = - 1 8

Passo 1

Nesta questão o enunciado nos pede para determinarmos as equações das retas tangentes à curva no ponto dado. Para isso, devemos saber que a equação da reta tangente tem a seguinte forma : y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e pode ser obtido a partir da derivada da função dada no enunciado e b é o coeficiente linear e pode ser obtido após encontrar a, substituindo os valores do ponto dado no enunciado.

Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a )  é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim

2 3 . x - 1 3 . d x d x + 2 3 . y - 1 3 . d y d x = 0

d y d x . 2 3 . y - 1 3 = - 2 3 . x - 1 3

a = d y d x = - y 1 3 x 1 3

Passo 3

Aplicando o valor de x dado na expressão que envolve x e y, para descobrir qual ponto será feita a analise

- 1 8 2 3 + y 2 3 = 1

y 2 3 = 3 4

Como na expressão de a o y e o x estão elevados a 1/3 , basta tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação acima

y 2 3 = y 1 / 3 = ± 3 2

Logo, o ponto onde será obtido as equações das retas tangentes será ( -1/8 , ± 3 3 8 )

Passo 4

Aplicando o ponto dado (-1/8,   3 3 8 ) na expressão de (a) para encontrar o seu valor neste ponto temos

a = - 3 2 - 1 8 1 3 = 3

Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma 

y = 3 x + b

Passo 4

Substituindo o ponto ((-1/8,   3 3 8 ) na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b 

3 3 8 = 3 . - 1 8 + b  

b = 3 2

Assim , a equeção da reta tangente à curva no ponto ((-1/8,   3 2 ) é

y = 3 ( x + 1 2 )

Passo 5

Aplicando o ponto dado (-1/8, - 3 3 8 ) na expressão de (a) para encontrar o seu valor neste ponto temos

a = - - 3 2 - 1 8 1 3 = - 3

Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma 

y = - 3 x + b

Passo 6

Substituindo o ponto ((-1/8,   3 3 8 ) na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b 

- 3 3 8 = - 3 . - 1 8 + b  

b = - 3 2

Assim , a equeção da reta tangente à curva no ponto ((-1/8,   3 2 ) é

y = - 3 ( x + 1 2 )

Resposta

y = 3 ( x + 1 2 )

y = - 3 ( x + 1 2 )

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