Enunciado

31. Ache a inclinação da reta tangente em cada ponto do gráfico de y = x 4 + x 3 - 3 x 2 , onde a taxa de variação da inclinação é zero.

Passo 1

O que o enunciado quer quando fala da taxa de variação da reta tangente ser zero, nada mais é que os pontos que fazem a segunda derivada ser zero.

A derivada de segunda ordem pode ser interpretada também como a taxa de variação da função definida pela primeira derivada.

Primeiro para achar a inclinação da reta tangente em algum ponto de uma função, basta avaliar a derivada da função no ponto desejado e esses pontos vão ser os que zeram a segunda derivada.

Passo 2

1º - Iremos calcular a derivada de primeira ordem:

y x = x 4 + x 3 - 3 x 2

y ' x = 4 x 3 + 3 x 2 - 6 x

Essa função vai ser necessária para achar a inclinação da reta tangente depois que obtermos os pontos que zeram a segunda derivada.

Passo 3

2º - Vamos calcular a derivada de segunda ordem:

y ' x = 4 x 3 + 3 x 2 - 6 x

y ' ' x = 12 x 2 + 6 x - 6

Agora basta achar os pontos que zeram essa função, assim temos:

12 x 2 + 6 x - 6 = 0

Como essa expressão é uma equação de segundo grau basta usar a fórmula de Bhaskara

x = - 6 ± 6 2 - 4 ⋅ 12 ⋅ ( - 6 ) 2 ( 12 )

= - 6 ± 36 + 288 24

= - 6 ± 324 24

= - 6 ± 18 24

x = 1 2     o u     x = - 1

Esses são os pontos que fazem a segunda derivada ser igual a zero, agora basta jogar esses valores para x na função definida pela primeira derivada.

Passo 4

Avaliando x = 1 2     e     x = - 1 na primeira derivada:

Primeiro x = 1 2 :

y ' x = 4 x 3 + 3 x 2 - 6 x

y ' 1 2 = 4 1 2 3 + 3 1 2 2 - 6 1 2

                          = 4 1 8 + 3 1 4 - 3

                          = 1 2 + 3 4 - 3 = - 7 4

Segundo x = - 1 :

y ' x = 4 x 3 + 3 x 2 - 6 x

y ' - 1 = 4 - 1 3 + 3 - 1 2 - 6 - 1

= 4 - 1 + 3 1 + 6

= - 4 + 3 + 6 = 5

Resposta

Para x = 1 2 a inclinação é - 7 4

Para x = - 1 a inclinação é 5

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