Enunciado

Ache, se existirem

a ) underset(x -> 4^+)(lim) ⟦x - 3⟧

b ) underset(x -> 4^-)(lim) ⟦x - 3⟧

c ) underset(x -> 4)(lim) ⟦x - 3⟧

Passo 1

Vamos começar entendendo que diabos de função é aquele ⟦x - 3⟧ que ele deu.

Essa função é a chamada de “parte inteira”. Mas o que isso significa? O valor de ⟦x - 3⟧ vai ser a parte inteira de x - 3 .

Por exemplo:

x = 4,2 -> ⟦4,2 - 3⟧ = ⟦1,2⟧ = 1

x = 4 -> ⟦4 - 3⟧ = ⟦1⟧ = 1

x = 7,5 -> ⟦7,5 - 3⟧ = ⟦4,5⟧ = 4

E por ai vai, entendeu?

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

underset(x -> 4^+)(lim) ⟦x - 3⟧

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 4 pela direita. Que é se aproximar de 4 por valores maiores que 4 .

Se pegarmos valores maiores que 4 , mas próximos dele, como 4 , 1 ; 4 , 01 e por aí vai.

Vamos ter que x - 3 , vai se aproximar de 1,1 ; 1,01 e por aí vai.

A parte inteira de x - 3 sempre será 1 .

Então

underset(x -> 4^+)(lim) ⟦x - 3⟧ = 1

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

underset(x -> 4^-)(lim) ⟦x - 3⟧

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 4 pela esquerda. Que é se aproximar de 4 por valores menores que 4 .

Se pegarmos valores maiores que 4 , mas próximos dele, como 3 , 9 ; 3 , 99 e por aí vai.

Vamos ter que x - 3 , vai se aproximar de 0,9 ; 0 , 99 e por aí vai.

A parte inteira de x - 3 sempre será 0 .

Então

underset(x -> 4^-)(lim) ⟦x - 3⟧ = 0

Passo 4

Letra c )

underset(x -> 4)(lim) ⟦x - 3⟧

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 4 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais são 1 e 0 , respectivamente.

Como eles são diferentes o limite não existe

Resposta

a )

underset(x -> 4^+)(lim) ⟦x - 3⟧ = 1

b )

underset(x -> 4^-)(lim) ⟦x - 3⟧ = 0

c )

O limite não existe

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