Enunciado

(a) Ache a equação da hipérbole que tem um foco na origem, a diretriz correspondente à esquerda do foco, se o ponto 2 , 4 3 π está na hipérbole e e = 3 . (b) Escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem.

(a)

Passo 1

Lembrando que a equação polar de uma cônica cujo eixo principal coincide com a horizontal e cuja diretriz se encontra à esquerda do foco é da forma:

r = e d 1 - e cos ⁡ θ

Passo 2

Como o ponto 2 , 4 3 π pertence à hipérbole e e = 3 , podemos encontrar d :

2 = 3 d 1 - 3 cos ⁡ 4 π 3

3 d = 2 + 3 2

d = 7 6

Passo 3

Ou seja, a equação da cônica será:

r = 3,5 1 - 3 cos ⁡ θ

(b)

Passo 4

Como o eixo da hipérbole está na horizontal, a equação da diretriz correspondente ao foco na origem é:

x = - 2 d

Sendo que o valor de d foi encontrado no item (a). Passando para coordenadas polares:

r cos ⁡ θ = - 2 d

Resposta

A equação da diretriz, substituindo o valor de d , é:

r cos ⁡ θ = - 7 3

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Nos exercícios de 13 a 16 , ache a área de intersecção das regiões limitadas pelos gráficos das duas equações dadas. r ² = 2 cos ⁡ θ r = 1 ²